Sea $ m$ un entero positivo y defina $ f(m)$ como el número de factores de $ 2$ en $ m!$ (es decir, el mayor entero positivo $ k$ tal que $ 2^k|m!$ ) . Demuestre que hay infinitos enteros positivos $ m$ tales que $ m - f(m) = 1989.$

Encuentre las raíces $ r_i \in \mathbb{R}$ del polinomio\n\[ p(x) = x^n + n \cdot x^{n-1} + a_2 \cdot x^{n-2} + \ldots + a_n\]\nsatisfaciendo\n\[ \sum^{16}_{k=1} r^{16}_k = n.\]

Demuestre que $ \forall n > 1, n \in \mathbb{N}$ la ecuación\n\[ \sum^n_{k=1} \frac{x^k}{k!} + 1 = 0\]\nno tiene raíces racionales.

Los círculos $ c_1$ y $ c_2$ son tangentes en el punto $ A.$ Una línea recta $ l$ que pasa por $ A$ intersecta $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ C_1$ y $ C_2$ respectivamente. Un círculo $ c,$ que contiene $ C_1$ y $ C_2,$ se encuentra con $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ B_1$ y $ B_2$ respectivamente. Sea $ \omega$ el círculo circunscrito alrededor del triángulo $ AB_1B_2.$ El círculo $ k$ tangente a $ \omega$ en el punto $ A$ se encuentra con $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ D_1$ y $ D_2$ respectivamente. Demuestre que\n(a) los puntos $ C_1,C_2,D_1,D_2$ son concíclicos o colineales,\n(b) los puntos $ B_1,B_2,D_1,D_2$ son concíclicos si y solo si $ AC_1$ y $ AC_2$ son diámetros de $ c_1$ y $ c_2.$

Las secuencias $ a_0, a_1, \ldots$ y $ b_0, b_1, \ldots$ se definen para $ n = 0, 1, 2, \ldots$ por las igualdades\n\[ a_0 = \frac {\sqrt {2}}{2}, \quad a_{n + 1} = \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \sqrt {1 - \sqrt {1 - a^2_n}}\n\]\ny\n\[ b_0 = 1, \quad b_{n + 1} = \frac {\sqrt {1 + b^2_n} - 1}{b_n}\n\]\nDemuestre las desigualdades para cada $ n = 0, 1, 2, \ldots$\n\[ 2^{n + 2} a_n < \pi < 2^{n + 2} b_n.\n\]

Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, encuentra que si la coloca plana en el suelo de cualquiera de sus trasteros, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Sabe que los lados de la alfombra son números enteros de pies y que sus dos trasteros tienen la misma longitud (desconocida), pero anchos de 38 pies y 50 pies respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra?

Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, encuentra que si la coloca plana en el suelo de cualquiera de sus trasteros, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Si las dos habitaciones tienen dimensiones de 38 pies por 55 pies y 50 pies por 55 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la alfombra?

$ABC$ es un triángulo, la bisectriz del ángulo $A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A_1$, los puntos $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Sea $AA_1$ el punto de encuentro de las líneas que bisecan los dos ángulos externos en $B$ y $C$ en $A_0$. Define $B_0$ y $C_0$ de manera similar. Demuestra que el área del triángulo $A_0B_0C_0 = 2 \cdot$ área del hexágono $AC_1BA_1CB_1 \geq 4 \cdot$ área del triángulo $ABC$.

En el conjunto $S_n = \{1, 2,\ldots ,n\}$ se define una nueva multiplicación $a*b$ con las siguientes propiedades: \n(i) $c = a * b$ está en $S_n$ para cualquier $a \in S_n, b \in S_n.$\n(ii) Si el producto ordinario $a \cdot b$ es menor o igual que $n,$ entonces $a*b = a \cdot b.$\n(iii) Las reglas ordinarias de multiplicación se cumplen para $*,$ es decir:\n(1) $a * b = b * a$ (conmutatividad)\n(2) $ (a * b) * c = a * (b * c)$ (asociatividad)\n(3) Si $a * b = a * c$ entonces $b = c$ (ley de cancelación).\nEncuentra una tabla de multiplicación adecuada para el nuevo producto para $n = 11$ y $n = 12.$

Demostrar que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ n^{2} + 1$ tiene un divisor primo mayor que $ 2n + \sqrt {2n}$ .