Para todo $ n\in\mathbb{N}$ sea $ d(n)$ el número de divisores (positivos) de $ n$ . Encontrar todas las funciones $ f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: $ d\left(f(x)\right) = x$ para todo $ x\in\mathbb{N}$ . $ f(xy)$ divide a $ (x - 1)y^{xy - 1}f(x)$ para todo $ x$ , $ y\in\mathbb{N}$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$, los segmentos $BE$ y $CF$ son alturas. Dos círculos que pasan por el punto $A$ y $F$ y son tangentes a la línea $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ de modo que $B$ se encuentra entre $C$ y $Q$. Demuestre que las líneas $PE$ y $QF$ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos en $ABCD$ tales que $PQDA$ y $QPBC$ son cuadriláteros cíclicos. Suponga que existe un punto $E$ en el segmento de línea $PQ$ tal que $ \angle PAE = \angle QDE$ y $ \angle PBE = \angle QCE$. Demuestre que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico.

Dado un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $AB$ y $CD$, asuma que existen puntos $E$ en la línea $BC$ fuera del segmento $BC$, y $F$ dentro del segmento $AD$ tal que $ \angle DAE = \angle CBF$. Denotemos por $I$ el punto de intersección de $CD$ y $EF$, y por $J$ el punto de intersección de $AB$ y $EF$. Sea $K$ el punto medio del segmento $EF$, asuma que no está en la línea $AB$. Demuestre que $I$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ABK$ si y sólo si $K$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $CDJ$.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $ \Gamma_{A}$ con centro en el punto medio de $BC$ y que pasa por $H$ interseca la línea $BC$ en los puntos $A_{1}$ y $A_{2}$. De manera similar, defina los puntos $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$. Demuestre que los seis puntos $A_{1}$, $A_{2}$, $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$ y $C_{2}$ son concíclicos.

Para $ n\ge 2$ , sean $ S_1$ , $ S_2$ , $ \ldots$ , $ S_{2^n}$ $ 2^n$ subconjuntos de $ A = \{1, 2, 3, \ldots, 2^{n + 1}\}$ que satisfacen la siguiente propiedad: No existen índices $ a$ y $ b$ con $ a < b$ y elementos $ x$ , $ y$ , $ z\in A$ con $ x < y < z$ y $ y$ , $ z\in S_a$ , y $ x$ , $ z\in S_b$ . Pruebe que al menos uno de los conjuntos $ S_1$ , $ S_2$ , $ \ldots$ , $ S_{2^n}$ no contiene más de $ 4n$ elementos.

Sea $ S = \{x_1, x_2, \ldots, x_{k + l}\}$ un conjunto de $ (k + l)$ - elementos de números reales contenidos en el intervalo $ [0, 1]$ ; $ k$ y $ l$ son enteros positivos. Un subconjunto de $ k$ - elementos $ A\subset S$ se llama agradable si \[ \left |\frac {1}{k}\sum_{x_i\in A} x_i - \frac {1}{l}\sum_{x_j\in S\setminus A} x_j\right |\le \frac {k + l}{2kl}\] Pruebe que el número de subconjuntos agradables es al menos $ \dfrac{2}{k + l}\dbinom{k + l}{k}$ .

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos con $ k \geq n$ y $ k - n$ un número par. Sean $ 2n$ lámparas etiquetadas $ 1$ , $ 2$ , ..., $ 2n$ dadas, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Consideramos secuencias de pasos: en cada paso una de las lámparas se cambia (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $ N$ el número de tales secuencias que consisten en $ k$ pasos y resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ hasta $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ están todas apagadas. Sea $ M$ el número de tales secuencias que consisten en $ k$ pasos, resultando en el estado donde las lámparas $ 1$ hasta $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $ n + 1$ hasta $ 2n$ es nunca encendida. Determine $ \frac {N}{M}$ .

En el plano coordenado considere el conjunto $ S$ de todos los puntos con coordenadas enteras. Para un entero positivo $ k$ , dos puntos distintos $A$ , $ B\in S$ serán llamados $ k$ - amigos si existe un punto $ C\in S$ tal que el área del triángulo $ ABC$ es igual a $ k$ . Un conjunto $ T\subset S$ será llamado $ k$ - clique si cada dos puntos en $ T$ son $ k$ - amigos. Encuentre el entero positivo más pequeño $ k$ para el cual existe un $ k$ - clique con más de 200 elementos.

Sea $n \in \mathbb N$ y $A_n$ el conjunto de todas las permutaciones $(a_1, \ldots, a_n)$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ para las cuales \[k|2(a_1 + \cdots+ a_k), \text{ para todo } 1 \leq k \leq n.\] Encuentra el número de elementos del conjunto $A_n$.