Sea $n$ un entero positivo y sea $p$ un número primo. Demuestre que si $a$ , $b$ , $c$ son enteros (no necesariamente positivos) que satisfacen las ecuaciones\n\[ a^n + pb = b^n + pc = c^n + pa\]\nentonces $a = b = c$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Denotemos los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$ por $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ respectivamente. Suponga que existe un círculo $ \omega$ tangente al rayo $ BA$ más allá de $ A$ y al rayo $ BC$ más allá de $ C$ , que también es tangente a las líneas $ AD$ y $ CD$ . Demuestre que las tangentes externas comunes a $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ se intersecan en $ \omega$ .

Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$. Demuestre que existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero tal que \n\[\n\angle PAB + \angle PDC = \angle PBC + \angle PAD = \angle PCD + \angle PBA = \angle PDA + \angle PCB = 90^{\circ}\n\]\nsi y sólo si las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares.

Sean $k$ y $n$ enteros con $0\le k\le n - 2$. Considere un conjunto $L$ de $n$ líneas en el plano tales que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres con un punto común. Denotemos por $I$ el conjunto de intersecciones de líneas en $L$. Sea $O$ un punto en el plano que no se encuentra en ninguna línea de $L$. Un punto $X\in I$ se colorea de rojo si el segmento de línea abierto $OX$ interseca como máximo $k$ líneas en $L$. Demuestre que $I$ contiene al menos $\dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$ puntos rojos.

Sea $ n$ un entero positivo. Demostrar que los números \[ \binom{2^n - 1}{0},\; \binom{2^n - 1}{1},\; \binom{2^n - 1}{2},\; \ldots,\; \binom{2^n - 1}{2^{n - 1} - 1}\] son congruentes módulo $ 2^n$ a $ 1$ , $ 3$ , $ 5$ , $ \ldots$ , $ 2^n - 1$ en algún orden.

Sea $ a_0$ , $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ una secuencia de enteros positivos tales que el máximo común divisor de dos términos consecutivos cualesquiera es mayor que el término precedente; en símbolos, $ \gcd (a_i, a_{i + 1}) > a_{i - 1}$ . Demostrar que $ a_n\ge 2^n$ para todo $ n\ge 0$ .

Sean $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_n$ enteros positivos distintos, $ n\ge 3$ . Demostrar que existen índices distintos $ i$ y $ j$ tales que $ a_i + a_j$ no divide a ninguno de los números $ 3a_1$ , $ 3a_2$ , $ \ldots$ , $ 3a_n$ .

Hallar todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (por lo que $ f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$

Considerar una partición de $\{1,2,\ldots,900\}$ en $30$ subconjuntos $S_1,S_2,\ldots,S_{30}$ cada uno con $30$ elementos. En cada $S_k$, pintamos el quinto número más grande de azul. ¿Es posible que, para $k=1,2,\ldots,30$, la suma de los elementos de $S_k$ exceda la suma de los números azules?

Una colección de círculos de cartón, cada uno con un diámetro de a lo sumo $1$, se encuentran sobre una mesa de $5\times 8$ sin superponerse ni sobresalir del borde de la mesa. Se añade a la colección un círculo de cartón de diámetro $2$. Demostrar que esta nueva colección de círculos de cartón se puede colocar sobre una mesa de $7\times 7$ sin superponerse ni sobresalir del borde.