¿Cuántos enteros $n>1$ hay tales que $n$ divide a $x^{13}-x$ para cada entero positivo $x$?

En un hexágono convexo $ABCDEF$, los triángulos $ACE$ y $BDF$ tienen el mismo circunradio $R$. Si el triángulo $ACE$ tiene inradio $r$, probar que \[ \text{Area}(ABCDEF)\le\frac{R}{r}\cdot\text{Area}(ACE).\]

Hallar el entero más pequeño $n$ tal que cada subconjunto de $\{1,2,\ldots, 2004\}$ con $n$ elementos tiene dos elementos distintos $a$ y $b$ para los cuales $a^2-b^2$ es múltiplo de $2004$.

Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que \[xP\bigg(\frac{y}{x}\bigg)+yP\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=x+y\] para todos los números reales no nulos $x$ e $y$.

Dos estudiantes $ A$ y $ B$ están jugando el siguiente juego: Cada uno de ellos escribe en una hoja de papel un entero positivo y le da la hoja al árbitro. El árbitro escribe en una pizarra dos enteros, uno de los cuales es la suma de los enteros escritos por los jugadores. Después de eso, el árbitro le pregunta al estudiante $ A:$ '¿Puedes decir el entero escrito por el otro estudiante?' Si A responde 'no', el árbitro le hace la misma pregunta al estudiante $ B.$ Si $ B$ responde 'no', el árbitro le vuelve a hacer la pregunta a $ A,$ y así sucesivamente. Asuma que ambos estudiantes son inteligentes y veraces. Demostrar que después de un número finito de preguntas, uno de los estudiantes responderá 'sí'.

Llamamos a un conjunto $ S$ en la recta real $ \mathbb{R}$ superinvariante si para cualquier estiramiento $ A$ del conjunto por la transformación que lleva $ x$ a $ A(x) = x_0 + a(x - x_0), a > 0$ existe una traslación $ B,$ $ B(x) = x+b,$ tal que las imágenes de $ S$ bajo $ A$ y $ B$ coinciden; i.e., para cualquier $ x \in S$ existe un $ y \in S$ tal que $ A(x) = B(y)$ y para cualquier $ t \in S$ existe un $ u \in S$ tal que $ B(t) = A(u).$ Determinar todos los conjuntos superinvariantes.

Se dice que una secuencia infinita $ \,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ de números reales es acotada si existe una constante $ \,C\,$ tal que $ \, \vert x_{i} \vert \leq C\,$ para cada $ \,i\geq 0$ . Dado cualquier número real $ \,a > 1,\,$ construir una secuencia infinita acotada $ x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ tal que \[ \vert x_{i} - x_{j} \vert \vert i - j \vert^{a}\geq 1 \]\npara cada par de enteros no negativos distintos $ i, j$ .

Determinar el valor máximo de la suma \[ \sum_{i < j} x_ix_j (x_i + x_j) \]\nsobre todas las $ n -$ tuplas $ (x_1, \ldots, x_n),$ que satisfacen $ x_i \geq 0$ y $ \sum^n_{i = 1} x_i = 1.$

Sea $ n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ y sean $ p, a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$ que satisfacen $ \frac{1}{2} \leq p \leq 1,$ $ 0 \leq a_i,$ $ 0 \leq b_i \leq p,$ $ i = 1, \ldots, n,$ y \[ \sum^n_{i=1} a_i = \sum^n_{i=1} b_i.\] Demuestra la desigualdad: \[ \sum^n_{i=1} b_i \prod^n_{j = 1, j \neq i} a_j \leq \frac{p}{(n-1)^{n-1}}.\]

Suponga que $ n \geq 2$ y $ x_1, x_2, \ldots, x_n$ son números reales entre 0 y 1 (inclusive). Demuestra que para algún índice $ i$ entre $ 1$ y $ n - 1$ la desigualdad \[ x_i (1 - x_{i+1}) \geq \frac{1}{4} x_1 (1 - x_{n})\]