Un entero impar $ n \ge 3$ se dice que es 'agradable' si y solo si existe al menos una permutación $ a_{1}, \cdots, a_{n}$ de $ 1, \cdots, n$ tal que las $ n$ sumas $ a_{1} - a_{2} + a_{3} - \cdots - a_{n - 1} + a_{n}$ , $ a_{2} - a_{3} + a_{3} - \cdots - a_{n} + a_{1}$ , $ a_{3} - a_{4} + a_{5} - \cdots - a_{1} + a_{2}$ , $ \cdots$ , $ a_{n} - a_{1} + a_{2} - \cdots - a_{n - 2} + a_{n - 1}$ son todas positivas. Determina el conjunto de todos los enteros 'agradables'.

Sean $ f$ y $ g$ dos funciones con valores enteros definidas en el conjunto de todos los enteros tales que\n(a) $ f(m + f(f(n))) = -f(f(m+ 1) - n$ para todos los enteros $ m$ y $ n;$\n(b) $ g$ es una función polinómica con coeficientes enteros y $ g(n) = g(f(n))$ $ \forall n \in \mathbb{Z}.$

Las constantes reales $ a, b, c$ son tales que existe exactamente un cuadrado todos cuyos vértices se encuentran en la curva cúbica $ y = x^3 + ax^2 + bx + c.$ Demuestra que el cuadrado tiene lados de longitud $ \sqrt[4]{72}.$

Sea $f(x)$ un polinomio mónico de grado $1991$ con coeficientes enteros. Define $g(x) = f^2(x) - 9.$ Muestra que el número de soluciones enteras distintas de $g(x) = 0$ no puede exceder a $1995.$

Sea $ \alpha$ la raíz positiva de la ecuación $ x^{2} = 1991x + 1$. Para números naturales $m$ y $n$ define \[ m*n = mn + \lfloor\alpha m \rfloor \lfloor \alpha n\rfloor. \] Demuestra que para todos los números naturales $p$ , $q$ , y $r$ , \[ (p*q)*r = p*(q*r). \]

Sea $ \alpha$ un número racional con $0 < \alpha < 1$ y $\cos (3 \pi \alpha) + 2\cos(2 \pi \alpha) = 0$. Demuestra que $\alpha = \frac {2}{3}$.

Encuentra el grado más alto $k$ de $1991$ para el cual $1991^k$ divide al número \[ 1990^{1991^{1992}} + 1992^{1991^{1990}}.\]

Encuentra todas las soluciones enteras positivas $x, y, z$ de la ecuación $3^x + 4^y = 5^z.$

Sea $ \,n > 6\,$ un entero y $ \,a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\,$ sean todos los números naturales menores que $ n$ y relativamente primos con $ n$ . Si \[ a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = \cdots = a_{k} - a_{k - 1} > 0, \] demuestre que $ \,n\,$ debe ser un número primo o una potencia de $ \,2$ .

Sea $ a_n$ el último dígito distinto de cero en la representación decimal del número $ n!.$ ¿La secuencia $ a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ se vuelve periódica después de un número finito de términos?