Sean $ a, b, c$ enteros y $ p$ un número primo impar. Demuestre que si $ f(x) = ax^2 + bx + c$ es un cuadrado perfecto para $ 2p - 1$ valores enteros consecutivos de $ x,$ entonces $ p$ divide a $ b^2 - 4ac.$

Dado cualquier entero $ n \geq 2,$ asuma que los enteros $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ no son divisibles por $ n$ y, además, que $ n$ no divide $ \sum^n_{i=1} a_i.$ Demuestre que existen al menos $ n$ secuencias diferentes $ (e_1, e_2, \ldots, e_n)$ que consisten en ceros o unos tal que $ \sum^n_{i=1} e_i \cdot a_i$ es divisible por $ n.$

Sea $ S = \{1,2,3,\cdots ,280\}$ . Encuentre el entero más pequeño $ n$ tal que cada subconjunto de $ S$ de $ n$ elementos contiene cinco números que son primos relativos por pares.

Demostrar que $ \sum_{k = 0}^{995} \frac {( - 1)^k}{1991 - k} {1991 - k \choose k} = \frac {1}{1991}$

Supongamos que $G$ es un grafo conectado con $k$ aristas. Demostrar que es posible etiquetar las aristas $1,2,\ldots ,k$ de tal manera que en cada vértice que pertenece a dos o más aristas, el máximo común divisor de los enteros que etiquetan esas aristas sea igual a 1. Nota: Definición de grafo. Un grafo consiste en un conjunto de puntos, llamados vértices, junto con un conjunto de aristas que unen ciertos pares de vértices distintos. Cada par de vértices $u,v$ pertenece a lo sumo a una arista. El grafo $G$ es conectado si para cada par de vértices distintos $x,y$ existe alguna secuencia de vértices $x = v_{0},v_{1},v_{2},\cdots ,v_{m} = y$ tal que cada par $v_{i},v_{i + 1}\;(0\leq i < m)$ está unido por una arista de $G$.

En el plano se nos da un conjunto $E$ de 1991 puntos, y ciertos pares de estos puntos están unidos con un camino. Suponemos que para cada punto de $E,$ existen al menos 1593 otros puntos de $E$ a los que está unido por un camino. Demostrar que existen seis puntos de $E$ cada par de los cuales están unidos por un camino. Versión alternativa: ¿Es posible encontrar un conjunto $E$ de 1991 puntos en el plano y caminos que unen ciertos pares de los puntos en $E$ tal que cada punto de $E$ está unido con un camino a al menos 1592 otros puntos de $E,$ y en cada subconjunto de seis puntos de $E$ existen al menos dos puntos que no están unidos?

Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano. No hay tres puntos de $S$ que sean colineales. Demostrar que existe un conjunto $P$ que contiene $2n - 5$ puntos que satisfacen la siguiente condición: En el interior de cada triángulo cuyos tres vértices son elementos de $S$ se encuentra un punto que es un elemento de $P.$

Sea $ABCD$ un tetraedro: $AD+BD=AC+BC,$ $BD+CD=BA+CA,$ $CD+AD=CB+AB,$ $M,N,P$ son los puntos medios de $BC,CA,AB.$ $OA=OB=OC=OD.$ Demostrar que $ \angle MOP = \angle NOP =\angle NOM.$

En el triángulo $ ABC,$ con $ \angle A = 60 ^{\circ},$ una paralela $ IF$ a $ AC$ se dibuja a través del incentro $ I$ del triángulo, donde $ F$ se encuentra en el lado $ AB.$ El punto $ P$ en el lado $ BC$ es tal que $ 3BP = BC.$ Demuestre que $ \angle BFP = \frac{\angle B}{2}.$

Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestre que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual a $ 30^{\circ }$ .