Sea $ S$ cualquier punto en el círculo circunscrito de $ PQR.$ Entonces los pies de las perpendiculares desde S a los tres lados del triángulo se encuentran en la misma línea recta. Denotemos esta línea por $ l(S, PQR).$ Suponga que el hexágono $ ABCDEF$ está inscrito en un círculo. Demuestre que las cuatro líneas $ l(A,BDF),$ $ l(B,ACE),$ $ l(D,ABF),$ y $ l(E,ABC)$ se intersecan en un punto si y solo si $ CDEF$ es un rectángulo.

$ ABC$ es un triángulo acutángulo. $ M$ es el punto medio de $ BC$ y $ P$ es el punto en $ AM$ tal que $ MB = MP$ . $ H$ es el pie de la perpendicular desde $ P$ a $ BC$ . Las líneas que pasan por $ H$ perpendiculares a $ PB$ , $ PC$ se encuentran con $ AB, AC$ respectivamente en $ Q, R$ . Demuestre que $ BC$ es tangente al círculo que pasa por $ Q, H, R$ en $ H$ . Formulación original: Para un triángulo agudo $ ABC, M$ es el punto medio del segmento $ BC, P$ es un punto en el segmento $ AM$ tal que $ PM = BM, H$ es el pie de la línea perpendicular desde $ P$ a $ BC, Q$ es el punto de intersección del segmento $ AB$ y la línea que pasa por $ H$ que es perpendicular a $ PB,$ y finalmente, $ R$ es el punto de intersección del segmento $ AC$ y la línea que pasa por $ H$ que es perpendicular a $ PC.$ Demuestre que la circunferencia de $ QHR$ es tangente al lado $ BC$ en el punto $ H.$

Dado un punto $ P$ dentro de un triángulo $ \triangle ABC$ . Sean $ D$ , $ E$ , $ F$ las proyecciones ortogonales del punto $ P$ en los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sean las proyecciones ortogonales del punto $ A$ en las líneas $ BP$ y $ CP$ $ M$ y $ N$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $ ME$ , $ NF$ , $ BC$ son concurrentes. Formulación original: Sea $ ABC$ cualquier triángulo y $ P$ cualquier punto en su interior. Sean $ P_1, P_2$ los pies de las perpendiculares desde $ P$ a los dos lados $ AC$ y $ BC.$ Dibuje $ AP$ y $ BP,$ y desde $ C$ deje caer perpendiculares a $ AP$ y $ BP.$ Sean $ Q_1$ y $ Q_2$ los pies de estas perpendiculares. Demuestre que las líneas $ Q_1P_2,Q_2P_1,$ y $ AB$ son concurrentes.

Sean $x, y$ y $k$ tres enteros positivos. Demostrar que existe un entero positivo $N$ y un conjunto de $k + 1$ enteros positivos $\{b_0,b_1, b_2, ... ,b_k\}$, tal que, para cada $i = 0, 1, ... , k$, la expansión $b_i$ - aria de $N$ es un palíndromo de $3$ dígitos, y la expansión $b_0$ - aria es exactamente $\overline{\mbox{xyx}}$ .

Para cada entero positivo $k$, sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Demostrar que existe un entero $k$, sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero de modo que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$ . Demuestre que las líneas $PQ$ obtenidas de esta manera todas pasan por un punto fijo , o son todas paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo. Considere el círculo $\omega_B$ internamente tangente a los lados $BC$ y $BA$ , y al circuncírculo del triángulo $ABC$ , sea $P$ el punto de contacto de los dos círculos. Similarmente, considere el círculo $\omega_C$ internamente tangente a los lados $CB$ y $CA$ , y al circuncírculo del triángulo $ABC$ , sea $Q$ el punto de contacto de los dos círculos. Demuestre que el incentro del triángulo $ABC$ está en el segmento $PQ$ si y sólo si $AB + AC = 3BC$ .

Sea $ABCD$ un trapecio, $AD\parallel BC$ , y sean $E,F$ puntos en los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ se encuentra con $AD$ de nuevo en $A_1$ , y la circunferencia circunscrita de $CEF$ se encuentra con $BC$ de nuevo en $C_1$ . Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Fije un entero $n \ge 2$ y sea $A$ una matriz de $n\times n$ con $n$ celdas cortadas de manera que exactamente una celda se elimine de cada fila y cada columna. Un palo es un subarreglo de $1\times k$ o $k\times 1$ de $A$, donde $k$ es un entero positivo adecuado. (a) Determine el número mínimo de palos en los que se puede diseccionar $A$. (b) Demuestre que el número de formas de diseccionar $A$ en un número mínimo de palos no excede $100^n$.

Un país plano tiene un número impar de ciudades separadas por distancias por pares distintas. Algunas de estas ciudades están conectadas por vuelos directos de dos vías. Cada ciudad está conectada directamente a exactamente otras dos ciudades, y estas últimas están ubicadas más lejos de ella. Demuestre que, usando estos vuelos, uno puede ir de cualquier ciudad a cualquier otra ciudad.