Un conjunto $A$ está dotado de una operación binaria $*$ que satisface las siguientes cuatro condiciones: (1) Si $a, b, c$ son elementos de $A$, entonces $a * (b * c) = (a * b) * c$, (2) Si $a, b, c$ son elementos de $A$ tal que $a * c = b *c$, entonces $a = b$, (3) Existe un elemento $e$ de $A$ tal que $a * e = a$ para todo $a$ en $A$, y (4) Si a y b son elementos distintos de $A-\{e\}$, entonces $a^3 * b = b^3 * a^2$, donde $x^k = x * x^{k-1}$ para todos los enteros $k \ge 2$ y todos los $x$ en $A$. Determine la mayor cardinalidad que $A$ puede tener.

Dado un entero positivo $n$ , determine el número real más grande $\mu$ que satisface la siguiente condición: para cada conjunto $C$ de $4n$ puntos en el interior del cuadrado unitario $U$ , existe un rectángulo $T$ contenido en $U$ tal que $\bullet$ los lados de $T$ son paralelos a los lados de $U$ ; $\bullet$ el interior de $T$ contiene exactamente un punto de $C$ ; $\bullet$ el área de $T$ es al menos $\mu$ .

Sea $p \ge 5$ un número primo. Para un entero positivo $k$ , sea $R(k)$ el resto cuando $k$ es dividido por $p$ , con $0 \le R(k) \le p-1$ . Determine todos los enteros positivos $a < p$ tales que, para cada $m = 1, 2, \cdots, p-1$ , $$ m + R(ma) > a. $$

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ el punto donde la circunferencia inscrita se encuentra con el lado $BC$ . Sean $J_b$ y $J_c$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ , respectivamente. Demuestra que el circuncentro del triángulo $AJ_bJ_c$ se encuentra en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ .

Una lista finita de números racionales está escrita en una pizarra. En una operación, elegimos dos números $a$ , $b$ , los borramos, y escribimos uno de los números\n\[\n\ta + b, \; a - b, \; b - a, \; a \times b, \; a/b \text{ (si $b \neq 0$)}, \; b/a \text{ (si $a \neq 0$)}.\n\]\nDemuestra que, para cada entero $n > 100$ , hay sólo finitamente muchos enteros $k \ge 0$ , tal que, empezando desde la lista\n\[ k + 1, \; k + 2, \; \dots, \; k + n, \]\nes posible obtener, después de $n - 1$ operaciones, el valor $n!$ .

Para un entero $n \geq 5,$ dos jugadores juegan el siguiente juego en un $n$ -ágono regular. Inicialmente, se eligen tres vértices consecutivos, y se coloca un contador en cada uno. Un movimiento consiste en que un jugador deslice un contador a lo largo de cualquier número de aristas a otro vértice del $n$ -ágono sin saltar sobre otro contador. Un movimiento es legal si el área del triángulo formado por los contadores es estrictamente mayor después del movimiento que antes. Los jugadores se turnan para hacer movimientos legales, y si un jugador no puede hacer un movimiento legal, ese jugador pierde. ¿Para qué valores de $n$ el jugador que hace el primer movimiento tiene una estrategia ganadora?

¿Existe una secuencia infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3, . . .$ tal que $a_m$ y $a_n$ son coprimos si y sólo si $|m - n| = 1$ ?

En un círculo con un radio $R$ se inscribe un hexágono convexo. Las diagonales $AD$ y $BE$ , $BE$ y $CF$ , $CF$ y $AD$ del hexágono se intersectan en los puntos $M$ , $N$ y $K$ , respectivamente. Sean $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6$ los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ ABM,BCN,CDK,DEM,EFN,AFK$ respectivamente. Demostrar que. $$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt{3}$$ .

Encontrar todos los números reales $a$ tales que existe $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $$f(x-f(y))=f(x)+a[y]$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$

Un cocodrilo elige una baldosa de $1$ x $4$ de un cuadrado de $2018$ x $2018$. El oso tiene un tilómetro que comprueba si en un cuadrado de $3$ x $3$ del cuadrado de $2018$ x $2018$ hay alguna de las celdas elegidas por el cocodrilo. El tilómetro dice 'SÍ' si hay al menos una celda elegida entre el cuadrado de $3$ x $3$ comprobado. ¿Cuál es el número más pequeño de tales preguntas con las que el Oso puede obtener con certeza una respuesta afirmativa?