Demostrar que existen infinitos pares $(m,n)$ tales que $m+n$ divide a $(m!)^n+(n!)^m+1$

Sean $N,K,L$ puntos en $AB,BC,CA$ tales que $CN$ es bisectriz del ángulo $\angle ACB$ y $AL=BK$. Sea $BL\cap AK=P$. Si $I,J$ son los incentros de los triángulos $\triangle BPK$ y $\triangle ALP$ e $IJ\cap CN=Q$ demostrar que $IQ=JP$

Sean $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los ángulos opuestos a los lados de un triángulo con medidas $a,b,c$ respectivamente. Demostrar que $$2(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma)\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$$

Sea $f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ una función tal que para todos los enteros positivos $x$ e $y$ , el número $f(x)+y$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $x+f(y)$ es un cuadrado perfecto. Pruebe que $f$ es inyectiva. Nota. Una función $f\colon\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es inyectiva si para todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos distintos, $f(x)\neq f(y)$ se cumple.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $B_n$ el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud $n$ . Para una cadena binaria $s_1\hdots s_n$ , definimos su giro de la siguiente manera. Primero, contamos cuántos bloques de dígitos consecutivos tiene. Denotamos este número por $b$ . Luego, reemplazamos $s_b$ con $1-s_b$ . Se dice que una cadena $a$ es descendiente de $b$ si $a$ se puede obtener de $b$ a través de un número finito de giros. Un subconjunto de $B_n$ se llama dividido si no dos de sus miembros tienen un descendiente común. Encuentre la cardinalidad más grande posible de un subconjunto dividido de $B_n$ . Nota. Aquí hay un ejemplo de un giro: $101100 \rightarrow 101000$ porque $1\mid 0\mid 11\mid 00$ tiene $4$ bloques de dígitos consecutivos.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^{\circ}$ . El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ en $D,E,F$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $\overline{EF}$ . Sea $P$ la proyección de $A$ sobre $BC$ y sea $K$ la intersección de $MP$ y $AD$ . Pruebe que los circuncírculos de los triángulos $AFE$ y $PDK$ tienen el mismo radio.

Determine todos los conjuntos de números reales $S$ tales que: $1$ es el elemento más pequeño de $S$ , para todo $x,y\in S$ tal que $x>y$ , $\sqrt{x^2-y^2}\in S$

Decimos que una $2023$ - tupla de enteros no negativos $(a_1,\hdots,a_{2023})$ es dulce si se cumplen las siguientes condiciones: $a_1+\hdots+a_{2023}=2023$ $\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\hdots+\frac{a_{2023}}{2^{2023}}\le 1$ Determine el mayor entero positivo $L$ tal que \[a_1+2a_2+\hdots+2023a_{2023}\ge L\] se cumple para cada $2023$ - tupla dulce $(a_1,\hdots,a_{2023})$

Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AB$ , respectivamente. El círculo con diámetro $AB$ interseca las líneas $BC, AM$ y $AC$ en $D, E$ , y $F$ , respectivamente. Sea $G$ el punto medio de $FC$ . Pruebe que las líneas $NF, DE$ y $GM$ son concurrentes.

Sea $n>5$ un entero. Hay $n$ puntos en el plano, no tres de ellos colineales. Cada día, Tom borra uno de los puntos, hasta que quedan tres puntos. En el día $i$ - ésimo, para $1<i<n-3$ , antes de borrar el punto de ese día, Tom escribe el entero positivo $v(i)$ tal que la envolvente convexa de los puntos en ese momento tiene $v(i)$ vértices. Finalmente, escribe $v(n-2) = 3$ . Encuentre el mayor valor posible que la expresión $$|v(1)-v(2)|+ |v(2)-v(3)| + \ldots + |v(n-3)-v(n-2)|$$ puede obtener entre todas las configuraciones iniciales posibles de $n$ puntos y todos los movimientos posibles de Tom. Nota . Una envolvente convexa de un conjunto finito de puntos en el plano es el polígono convexo más pequeño que contiene todos los puntos del conjunto (dentro o en el límite).