Suponga que $a,b,c$ son enteros positivos tales que \[\gcd(a,b)+\gcd(a,c)+\gcd(b,c)=b+c+2023\] Pruebe que $\gcd(b,c)=2023$ . Nota. Para enteros positivos $x$ e $y$ , $\gcd(x,y)$ denota su máximo común divisor.

Sea $x; y; m; n$ enteros mayores que $1$ tales que

¿Para qué números reales $k > 1$ existe un conjunto acotado de números reales positivos $S$ con al menos $3$ elementos tal que $$k(a - b)\in S$$ para todo $a,b\in S $ con $a > b?$ Observación: Un conjunto de números reales positivos $S$ es acotado si existe un número real positivo $M$ tal que $x < M$ para todo $x \in S.$

Sea ABC un triángulo con $|AB|< |AC|. $ Sea $k$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ y sea $O$ el centro de $k$ . El punto $M$ es el punto medio del arco $BC $ de $k$ que no contiene a $A$ . Sea $D $ la segunda intersección de la línea perpendicular de $M$ a $AB$ con $ k$ y $E$ sea la segunda intersección de la línea perpendicular de $M$ a $AC $ con $k$ . Los puntos $X $ y $Y $ son las intersecciones de $CD$ y $BE$ con $OM$ respectivamente. Denotemos por $k_b$ y $k_c$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDX$ y $CEY$ respectivamente. Sean $G$ y $H$ las segundas intersecciones de $k_b$ y $k_c $ con $AB$ y $AC$ respectivamente. Denotemos por ka la circunferencia circunscrita del triángulo $AGH.$ Demostrar que $O$ es el circuncentro de $\triangle O_aO_bO_c, $ donde $O_a, O_b, O_c $ son los centros de $k_a, k_b, k_c$ respectivamente.

Una partición de un entero positivo es par si todos sus elementos son números pares. Similarmente, una partición es impar si todos sus elementos son impares. Determine todos los enteros positivos $n$ tales que el número de particiones pares de $n$ es igual al número de particiones impares de $n$ . Observación: Una partición de un entero positivo $n$ es una secuencia no decreciente de enteros positivos cuya suma de elementos es igual a $n$ . Por ejemplo, $(2; 3; 4), (1; 2; 2; 2; 2)$ y $(9) $ son particiones de $9.$

Sea $n$ un entero positivo. Ana y Banana están jugando el siguiente juego: Primero, Ana coloca $2n$ tazas en una fila sobre una mesa, cada una boca abajo. Luego coloca una bola debajo de una taza y hace un agujero en la mesa debajo de alguna otra taza. Banana luego da una secuencia finita de comandos a Ana, donde cada comando consiste en intercambiar dos tazas adyacentes en la fila. Su objetivo es lograr que la bola haya caído en el agujero durante el juego. Asumiendo que Banana no tiene información sobre la posición del agujero y la posición de la bola en ningún momento, ¿cuál es el número más pequeño de comandos que tiene que dar para lograr su objetivo?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $ |AB | < |AC |$ y ortocentro $H$ . El círculo con centro A y radio $ |AC |$ interseca a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en el punto $D$ y el círculo con centro $A$ y radio $ |AB |$ interseca al segmento $\overline{AD}$ en el punto $K. $ La línea que pasa por $K$ paralela a $CD $ interseca a $BC$ en el punto $ L.$ Si $M$ es el punto medio de $\overline{BC}$ y N es el pie de la perpendicular desde $H$ a $AL, $ demostrar que la línea $ MN $ biseca al segmento $\overline{AH}$ .

Hallar todos los pares $ (x; y) $ de enteros positivos tales que $$xy | x^2 + 2y -1.$$

Sean $a, b, c$ números reales no nulos tales que $a^2+b+c=\frac{1}{a}, b^2+c+a=\frac{1}{b}, c^2+a+b=\frac{1}{c}.$ Demostrar que al menos dos de $a, b, c$ son iguales.

Sebastián tiene un cierto número de rectángulos con áreas que suman hasta 3 y con longitudes de lado todas menores o iguales a $1$ . Demuestre que con cada uno de estos rectángulos es posible cubrir un cuadrado con lado $1$ de tal manera que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del cuadrado. Nota: Los rectángulos pueden superponerse y pueden sobresalir por encima de los lados del cuadrado.