Dada una sucesión $C$ de $1001$ números reales positivos (no necesariamente distintos), y dado un conjunto $K$ de enteros positivos distintos, la operación permitida es: seleccionar un número $k\in{K}$ , luego seleccionar $k$ números en $C$ , calcular la media aritmética de esos $k$ números y reemplazar cada uno de esos $k$ números seleccionados con la media. Si $K$ es un conjunto tal que para cada $C$ podemos alcanzar, mediante una secuencia de operaciones permitidas, un estado donde todos los números son iguales, determine el valor posible más pequeño del elemento máximo de $K$.

Andrea y Bruno juegan un juego en una tabla con $11$ filas y $9$ columnas. Primero, Andrea divide la tabla en $33$ zonas. Cada zona está formada por $3$ celdas contiguas alineadas vertical u horizontalmente, como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/e/8969bc57d26297155926b5377b265c2bb24e8a.png Luego, Bruno escribe uno de los números $0, 1, 2, 3, 4, 5$ en cada celda de tal manera que la suma de los números en cada zona es igual a $5$ . Bruno gana si la suma de los números escritos en cada una de las $9$ columnas de la tabla es un número primo. De lo contrario, Andrea gana. Demuestre que Bruno siempre tiene una estrategia ganadora.

Sean $A$ , $B$ y $C$ tres puntos tales que $B$ es el punto medio del segmento $AC$ y sea $P$ un punto tal que $<PBC=60$ . El triángulo equilátero $PCQ$ se construye de tal manera que $B$ y $Q$ están en diferentes semiplanos con respecto a $PC$ , y el triángulo equilátero $APR$ se construye de tal manera que $B$ y $R$ están en el mismo semiplano con respecto a $AP$ . Sea $X$ el punto de intersección de las líneas $BQ$ y $PC$ , y sea $Y$ el punto de intersección de las líneas $BR$ y $AP$ . Demuestre que $XY$ y $AC$ son paralelos.

Un gancho consta de tres segmentos de longitud $1$ formando dos ángulos rectos como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/d/630d8a98004501ed552fc326b0d8513e7fbc23.png Tenemos un cuadrado de lado $n$ dividido en $n^2$ cuadrados de lado $1$ por líneas paralelas a sus lados. Los ganchos se colocan en este cuadrado de tal manera que cada segmento del gancho cubre un lado de un pequeño cuadrado. Dos segmentos de un gancho no pueden superponerse. Determine todos los valores posibles de $n$ para los cuales es posible cubrir los lados de los $n^2$ pequeños cuadrados.

Los cuatro círculos en la figura determinan 10 regiones acotadas. Se escriben $10$ números que suman $100$ en estas regiones, uno en cada región. La suma de los números contenidos en cada círculo es igual a $S$ (la misma cantidad para cada uno de los cuatro círculos). Determine los valores posibles máximo y mínimo de $S$.

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, los puntos $C_m, A_m, B_m$ son los puntos medios de $AB, BC, CA$ respectivamente. Dentro del triángulo $\triangle ABC$ se elige un punto $P$ de modo que $\angle PCB = \angle B_mBC$ y $\angle PAB = \angle ABB_m.$ Una línea que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ se encuentra con la mediana $BB_m$ en $E.$ Demuestre que $E$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle A_mB_mC_m.$

Un rectángulo de $1 \times 5n$ se divide en baldosas, cada una de las baldosas es un cuadrado separado de $1 \times 1$ o un dominó roto que consta de dos de tales cuadrados separados por cuatro cuadrados (que no pertenecen al dominó). Demuestre que el número de tales particiones es una quinta potencia perfecta.

Kostya marcó los puntos $A(0, 1), B(1, 0), C(0, 0)$ en el plano de coordenadas. En los catetos del triángulo ABC marcó los puntos con coordenadas $(\frac{1}{2},0), (\frac{1}{3},0), \cdots, (\frac{1}{n+1},0)$ y $(0,\frac{1}{2}), (0,\frac{1}{3}), \cdots, (0,\frac{1}{n+1}).$ Luego Kostya unió cada par de puntos marcados con un segmento. Sasha dibujó un rectángulo de $1 \times n$ y unió con un segmento cada par de puntos enteros en su borde. Como resultado, tanto el triángulo como el rectángulo se dividen en polígonos por los segmentos dibujados. ¿Quién tiene el mayor número de polígonos: Sasha o Kostya?

¿Existe una coloración de todos los enteros positivos en tres colores de modo que para cada entero positivo los números de sus divisores de dos colores cualesquiera difieran a lo sumo en $2?$

Demuestre que un trinomio cuadrático $x^2 + ax + b (a, b \in R)$ no puede alcanzar en diez puntos integrales consecutivos valores iguales a potencias de $2$ con exponente integral no negativo.