Para todo $a_1, a_2, \dots, a_6$ positivo, demuestre la desigualdad\n\[ \sqrt[4]{\frac{a_1}{a_2 + a_3 + a_4}} + \sqrt[4]{\frac{a_2}{a_3 + a_4 + a_5}} + \dots + \sqrt[4]{\frac{a_6}{a_1 + a_2 + a_3}} \ge 2 \]

Algunas de las $100$ ciudades de un reino están conectadas por carreteras. Se sabe que para cada dos ciudades $A$ y $B$ conectadas por una carretera, existe una ciudad $C$ que no está conectada por una carretera con al menos una de las ciudades $A$ y $B$. Determine el número máximo posible de carreteras en el reino.

Dos círculos $w_{1}$ y $w_{2}$ de diferentes radios son tangentes externamente en $L$. Una línea es tangente a $w_{1}$ en $A$ y a $w_{2}$ en $B$ (los puntos $A$ y $B$ son diferentes de $L$). Se elige un punto $X$ en el plano. $Y$ y $Z$ son los segundos puntos de intersección de las líneas $XA$ y $XB$ con $w_{1}$ y $w_{2}$ respectivamente. Demuestre que todos los $X$ tales que $AB||Y Z$ pertenecen a un círculo.

Ocho postes se encuentran a lo largo del camino. Un gorrión comienza en el primer poste y una vez por minuto vuela a un poste vecino. Sea $a(n)$ el número de formas de llegar al último poste en $2n + 1$ vuelos (asumimos que $a(m) = 0$ para $m < 3$ ). Demuestre que para todo $n \ge 4$\n$$a(n) - 7a(n-1)+ 15a(n-2) - 10a(n-3) +a(n-4)=0.$$

$M$ es el punto medio del lado $AB$ en un triángulo equilátero $\triangle ABC.$ El punto $D$ en el lado $BC$ es tal que $BD : DC = 3 : 1.$ En la línea que pasa por $C$ y es paralela a $MD$ hay un punto $T$ dentro del triángulo $\triangle ABC$ tal que $\angle CTA = 150.$ Encuentre el $\angle MT D.$

La ciudad de Neverreturn tiene $N$ paradas de autobús numeradas $1, 2, \cdots , N.$ Cada ruta de autobús es de una sola vía y tiene solo dos paradas, el inicio y el final. La red de rutas es tal que, saliendo de cualquier parada, no se puede regresar a ella utilizando los autobuses de la ciudad. Cuando el alcalde nota una ruta que va de una parada con un número mayor a una parada con un número menor, ordena intercambiar las placas de matrícula de su inicio y su final. ¿Puede el cambio de placas continuar infinitamente?

Cada fila de una tabla de $24 \times 8$ contiene alguna permutación de los números $1, 2, \cdots , 8.$ En cada columna se multiplican los números. ¿Cuál es la suma mínima posible de todos los productos?

Se dibujan varios puntos 'buenos', varios puntos 'malos' y varios segmentos en el plano. Cada segmento conecta un punto 'bueno' y uno 'malo'; como máximo $100$ segmentos comienzan en cada punto. Tenemos pintura de $200$ colores. La mitad de cada segmento se pinta con uno de estos colores, y la otra mitad con otro. ¿Es siempre posible hacerlo de modo que cada dos segmentos con un extremo común se pinten con cuatro colores diferentes?

Las bisectrices de un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con ángulo recto $B$ se encuentran en el punto $I.$ La perpendicular a $IC$ trazada desde $B$ se encuentra con la línea $IA$ en $D;$ la perpendicular a $IA$ trazada desde $B$ se encuentra con la línea $IC$ en $E.$ Demuestre que el circuncentro del triángulo $\triangle IDE$ se encuentra en la línea $AC.$

Se dan enteros $a, b, c$ y un primo impar $p.$ Demuestre que $p$ divide a $x^2 + y^2 + ax + by + c$ para algunos enteros $x$ e $y.$