Arnim y Brentano tienen un pequeño florero con $1500$ dulces sobre la mesa y un enorme saco con dulces de repuesto debajo de la mesa. Juegan un juego por turnos, Arnim comienza. En cada movimiento, un jugador puede comer $7$ dulces o tomar $6$ dulces de debajo de la mesa y agregarlos al florero. Un jugador no puede ir debajo de la mesa en dos movimientos consecutivos. Un jugador es declarado ganador si deja el florero vacío. En cualquier otro caso, si un jugador no puede hacer un movimiento en su turno, el juego se declara empate. ¿Existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores?

Dado un rectángulo $ABCD$ . Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de modo que el área de los triángulos $ABE$ , $ECF$ , $FDA$ es igual a $1$ . Determina el área del triángulo $AEF$ .

Mazo realiza la siguiente operación en tripletes de enteros no negativos: Si al menos uno de ellos es positivo, elige un número positivo, lo disminuye en uno y reemplaza los dígitos en el lugar de las unidades con los otros dos números. Comienza con el triplete $x$ , $y$ , $z$ . Encuentra un triplete de enteros positivos $x$ , $y$ , $z$ tal que $xy + yz + zx = 1000$ (*) y el número de operaciones que Mazo puede realizar posteriormente con el triplete $x, y, z$ es (a) maximal (es decir, no hay ningún triplete de enteros positivos que satisfaga (*) que le permita hacer más operaciones); (b) minimal (es decir, todo triplete de enteros positivos que satisfaga (*) le permite realizar al menos tantas operaciones).

En el triángulo $ABC$ , los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ se intersecan con la línea $MN$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $p$ la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$ , y $q$ la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$ . Demuestra que las líneas $p$ y $q$ se intersecan en la línea $BC$ .

$n$ personas se reunieron en la fiesta, con $n \ge 2$ . Cada persona no le gusta exactamente a otra persona presente en la fiesta (pero no necesariamente recíproco, es decir, puede suceder que a $A$ no le guste $B$ aunque a $B$ no le guste $A$ ) y le gustan a todos los demás. Demuestra que los invitados pueden sentarse en tres mesas de tal manera que a cada invitado le gusten todas las personas en su mesa.

Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: Seleccionamos cualquier número impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo : Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$ , podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1,4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$

Sea $S(n)$ denota la suma de todos los dígitos del número natural $n$ . Determina todos los números naturales $n$ para los cuales ambos números $n + S(n)$ y $n - S(n)$ son potencias cuadradas de enteros distintos de cero.

Demuestra que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Considera un entero $n > 1$ , y un conjunto $\mathcal S$ de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos diferentes cualesquiera en $\mathcal S$ es al menos 1. De ello se deduce que existe una línea $\ell$ que separa $\mathcal S$ tal que la distancia desde cualquier punto de $\mathcal S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$ . (Una línea $\ell$ separa un conjunto de puntos S si algún segmento que une dos puntos en $\mathcal S$ cruza $\ell$ . ) Nota. Resultados más débiles con $cn^{-1/3}$ reemplazado por $cn^{-\alpha}$ pueden ser premiados con puntos dependiendo del valor de la constante $\alpha > 1/3$ .

Se da una baraja de $n > 1$ cartas. Se escribe un entero positivo en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números en cada par de cartas es también la media geométrica de los números en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué $n$ se deduce que los números en las cartas son todos iguales?

Hay un entero $n > 1$ . Hay $n^2$ estaciones en una pendiente de una montaña, todas a diferentes altitudes. Cada una de las dos compañías de teleférico, $A$ y $B$ , opera $k$ teleféricos; cada teleférico proporciona un traslado desde una de las estaciones a una más alta (sin paradas intermedias). Los $k$ teleféricos de $A$ tienen $k$ diferentes puntos de partida y $k$ diferentes puntos de llegada, y un teleférico que comienza más alto también termina más alto. Las mismas condiciones se cumplen para $B$ . Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar desde la estación más baja y llegar a la más alta utilizando uno o más carros de esa compañía (no se permiten otros movimientos entre estaciones). Determine el entero positivo más pequeño $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones que están unidas por ambas compañías.