Hay $4n$ guijarros de pesos $1, 2, 3, \dots, 4n.$ Cada guijarro está coloreado en uno de $n$ colores y hay cuatro guijarros de cada color. Demuestra que podemos ordenar los guijarros en dos montones de manera que se cumplan las siguientes dos condiciones: Los pesos totales de ambos montones son los mismos. Cada montón contiene dos guijarros de cada color.

Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demuestra que \n\[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\]

Considera el cuadrilátero convexo $ABCD$ . El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ . Se cumplen las siguientes igualdades de razones: \n\[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\]\nDemuestra que las siguientes tres líneas se encuentran en un punto: las bisectrices internas de los ángulos $\angle ADP$ y $\angle PCB$ y la bisectriz perpendicular del segmento $AB$ .

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ tal que $AB = 2 CD$ . Desde $A$ se dibuja la línea $r$ perpendicular a $BC$ y desde $B$ se dibuja la línea $t$ perpendicular a $AD$ . Sea $P$ el punto de intersección de $r$ y $t$ . Desde $C$ se dibuja la línea $s$ perpendicular a $BC$ y desde $D$ la línea $u$ perpendicular a $AD$ . Sea $Q$ el punto de intersección de $s$ y $u$ . Si $R$ es el punto de intersección de las diagonales del trapecio, demuestre que los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales.

Algunas de las personas que asisten a una reunión se saludan entre sí. Sea $n$ la cantidad de personas que saludan a un número impar de personas. Demuestre que $n$ es par.

¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación $$\left\lfloor\frac{x}{10}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{x}{11}\right\rfloor + 1?$$ ( $\lfloor x \rfloor$ denota la parte entera de $x$ , por ejemplo $\lfloor 2\rfloor = 2$ , $\lfloor \pi\rfloor = 3$ , $\lfloor \sqrt2 \rfloor =1$ )

Hay $m$ pueblos en la margen izquierda del Lena, $n$ pueblos en la margen derecha y un pueblo en una isla. Se sabe que $(m+1,n+1)>1$ . Cada dos pueblos separados por agua están conectados por un ferry con un número entero positivo. Los habitantes de cada pueblo dicen que todos los transbordadores que operan en su pueblo tienen números diferentes y estos números forman un segmento de la serie de los enteros. Demuestra que al menos algunos de ellos están equivocados.

Cada uno de los $n$ cuadrados negros y $n$ cuadrados blancos se puede obtener mediante una traslación uno del otro. Cada dos cuadrados de diferentes colores tienen un punto en común. Demuestra que hay un punto que pertenece al menos a $n$ cuadrados.

El radio del círculo $\omega_A$ con centro en el vértice $A$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ es igual al radio del excírculo tangente a $BC$ . Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Demuestra que si dos de estos círculos son tangentes, entonces cada dos de ellos son tangentes entre sí.

Para dos trinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ hay una función lineal $\ell(x)$ tal que $P(x)=Q(\ell(x))$ para todo $x$ real. ¿Cuántas de tales funciones lineales $\ell(x)$ pueden existir?