Los números positivos $a,\ b,\ c$ satisfacen $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ . Demuestra la desigualdad $\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Los puntos $K$ y $L$ en el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$ . Demuestra que el punto medio de la altura trazada desde $A$ , el punto medio de $KL$ y el circuncentro de $\triangle{ABC}$ son colineales.

Se dibuja un 'paralelogramo' de $k\times \ell$ en un papel con celdas hexagonales (consta de $k$ filas horizontales de $\ell$ celdas cada una). En este paralelogramo se elige un conjunto de lados no intersecantes de hexágonos; divide todos los vértices en pares. Juniors) ¿Cuántos lados verticales puede haber en este conjunto? Seniors) ¿De cuántas maneras se puede hacer eso? [asy]\nsize(120);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath hex = dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle;\nfor(int i=0;i<=3;i=i+1)\n{\nfor(int j=0;j<=2;j=j+1)\n{\nreal shiftx=j*sqrt(3)/2+i*sqrt(3),shifty=j*3/2;\ndraw(shift(shiftx,shifty)*hex);\n}\n}\n[/asy]

Se dan tres primos diferentes. ¿Qué número máximo de estos primos puede dividir su suma?

Sean los enteros positivos $a,\ b,\ c$ coprimos por pares. Denotamos por $g(a,\ b,\ c)$ el entero máximo no representable en la forma $xa+yb+zc$ con $x,\ y,\ z$ enteros positivos. Demuestra que $g(a,\ b,\ c)\ge \sqrt{2abc}$

Se da un paralelogramo $ABCD$ . El excírculo del triángulo $\triangle{ABC}$ toca los lados $AB$ en $L$ y la extensión de $BC$ en $K$ . La línea $DK$ se encuentra con la diagonal $AC$ en el punto $X$ ; la línea $BX$ se encuentra con la mediana $CC_1$ del triángulo $\triangle{ABC}$ en ${Y}$ . Demuestra que la línea $YL$ , la mediana $BB_1$ del triángulo $\triangle{ABC}$ y su bisectriz $CC^\prime$ tienen un punto en común.

Cada uno de los $n$ cuadrados negros y $n$ cuadrados blancos se puede obtener mediante una traslación uno del otro. Cada dos cuadrados de diferentes colores tienen un punto en común. Demuestra que hay un punto que pertenece al menos a $n$ cuadrados.

Hay un número par de cartas sobre una mesa; se escribe un entero positivo en cada carta. Sea $a_k$ el número de cartas que tienen $k$ escrito en ellas. Se sabe que $a_n-a_{n-1}+a_{n-2}- \cdots \ge 0$ para cada entero positivo $n$ . Demuestra que las cartas se pueden dividir en pares de modo que los números en cada par difieran en $1$ .

Se dibuja un 'paralelogramo' de $k\times \ell$ en un papel con celdas hexagonales (consta de $k$ filas horizontales de $\ell$ celdas cada una). En este paralelogramo se elige un conjunto de lados no intersecantes de hexágonos; divide todos los vértices en pares. Juniors) ¿Cuántos lados verticales puede haber en este conjunto? Seniors) ¿De cuántas maneras se puede hacer eso? [asy]\nsize(120);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath hex = dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle;\nfor(int i=0;i<=3;i=i+1)\n{\nfor(int j=0;j<=2;j=j+1)\n{\nreal shiftx=j*sqrt(3)/2+i*sqrt(3),shifty=j*3/2;\ndraw(shift(shiftx,shifty)*hex);\n}\n}\n[/asy]

Los números positivos $a,\ b,\ c$ satisfacen $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ . Demuestra la desigualdad $\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}.$