Los puntos $K$ y $L$ en el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$ . Demuestra que el punto medio de la altura trazada desde $A$ , el punto medio de $KL$ y el circuncentro de $\triangle{ABC}$ son colineales.

Cuatro números consecutivos de tres dígitos se dividen respectivamente por cuatro números consecutivos de dos dígitos. ¿Qué número mínimo de restos diferentes se puede obtener?

Sea $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{0}$ , donde $a_{0},\ldots,a_{n}$ son enteros, $a_{n}>0$ , $n\geq 2$. Demostrar que existe un entero positivo $m$ tal que $P(m!)$ es un número compuesto.

Sean $a$ , $b$ enteros positivos tales que $b^n+n$ es un múltiplo de $a^n+n$ para todos los enteros positivos $n$. Demostrar que $a=b$.

Denotemos por $d(n)$ la cantidad de divisores del entero positivo $n$. Un entero positivo $n$ se llama altamente divisible si $d(n) > d(m)$ para todo entero positivo $m < n$. Dos enteros altamente divisibles $m$ y $n$ con $m < n$ se llaman consecutivos si no existe un entero altamente divisible $s$ que satisfaga $m < s < n$.\n(a) Mostrar que hay solo finitos pares de enteros altamente divisibles consecutivos de la forma $(a, b)$ con $a \mid b$.\n(b) Mostrar que para cada número primo $p$ existen infinitos enteros positivos altamente divisibles $r$ tales que $pr$ también es altamente divisible.

En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde los puntos $A$, $B$, $C$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, y sean $P$, $Q$, $R$ los pies de las perpendiculares desde los puntos $A$, $B$, $C$ a las líneas $EF$, $FD$, $DE$, respectivamente. Demostrar que $p\left(ABC\right)p\left(PQR\right) \ge \left(p\left(DEF\right)\right)^{2}$, donde $p\left(T\right)$ denota el perímetro del triángulo $T$.

Sea $ABC$ un triángulo, y $M$ el punto medio de su lado $BC$. Sea $\gamma$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$. La mediana $AM$ del triángulo $ABC$ interseca la circunferencia inscrita $\gamma$ en dos puntos $K$ y $L$. Sean las líneas que pasan por $K$ y $L$, paralelas a $BC$, intersecan la circunferencia inscrita $\gamma$ de nuevo en dos puntos $X$ e $Y$. Sean las líneas $AX$ y $AY$ intersecan $BC$ de nuevo en los puntos $P$ y $Q$. Demostrar que $BP = CQ$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \not= AC$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ y $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $AE=AD$ y los puntos $D$, $H$, $E$ están en la misma línea. Demostrar que la línea $HM$ es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias circunscritas del triángulo $\triangle ABC$ y del triángulo $\triangle ADE$.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos y negativos. Suponga que para cada entero positivo $n$ los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ dejan $n$ restos diferentes al dividirse por $n$ . Demuestre que cada entero aparece exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$ : $A_1$ , $A_2$ en $BC$ , $B_1$ , $B_2$ en $CA$ y $C_1$ , $C_2$ en $AB$ , de tal manera que son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ con lados iguales. Demuestre que las líneas $A_1B_2$ , $B_1C_2$ y $C_1A_2$ son concurrentes.