Supongamos que tenemos un $n$ - gono convexo. Algunos $n-3$ diagonales están coloreados de negro y otros $n-3$ diagonales están coloreados de rojo (un lado no es una diagonal), de modo que no dos diagonales del mismo color pueden intersectarse estrictamente dentro del polígono, aunque pueden compartir un vértice. Encuentre el número máximo de puntos de intersección entre diagonales coloreadas de manera diferente estrictamente dentro del polígono, en términos de $n$ .

Supongamos que $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_n$ son enteros tales que $ n\mid a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ . Demostrar que existen dos permutaciones $ \left(b_1,b_2,\ldots,b_n\right)$ y $ \left(c_1,c_2,\ldots,c_n\right)$ de $ \left(1,2,\ldots,n\right)$ tales que para cada entero $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , tenemos \[ n\mid a_i - b_i - c_i\]

En una competición matemática, en la que se plantearon $6$ problemas a los participantes, cada dos de estos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ de los concursantes. Además, ningún concursante resolvió los $6$ problemas. Demostrar que hay al menos $2$ concursantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.

Sea $n\geq 3$ un entero fijo. Cada lado y cada diagonal de un $n$ -ágono regular está etiquetado con un número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ de forma que se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Cada número del conjunto $\left\{1;\;2;\;...;\;r\right\}$ aparece al menos una vez como etiqueta. 2. En cada triángulo formado por tres vértices del $n$ -ágono, dos de los lados están etiquetados con el mismo número, y este número es mayor que la etiqueta del tercer lado. (a) Hallar el $r$ máximo para el que es posible tal etiquetado. (b) Versión más difícil (Lista corta de la IMO 2005): Para este valor máximo de $r$ , ¿cuántos etiquetados de este tipo hay? Versión más fácil (5º TST alemán 2006) - contiene la respuesta a la versión más difícil Versión más fácil (5º TST alemán 2006): Demostrar que, para este valor máximo de $r$ , hay exactamente $\frac{n!\left(n-1\right)!}{2^{n-1}}$ etiquetados posibles.

Consideremos un tablero rectangular de $m \times n$ que consta de $mn$ cuadrados unitarios. Dos de sus cuadrados unitarios se denominan adyacentes si tienen un lado común, y una trayectoria es una secuencia de cuadrados unitarios en la que dos cuadrados consecutivos cualesquiera son adyacentes. Dos trayectorias se denominan no intersecantes si no comparten ningún cuadrado común. Cada cuadrado unitario del tablero rectangular puede colorearse de blanco o negro. Hablamos de una coloración del tablero si todos sus $mn$ cuadrados unitarios están coloreados. Sea $N$ el número de coloraciones del tablero tales que existe al menos una trayectoria negra desde el borde izquierdo del tablero hasta su borde derecho. Sea $M$ el número de coloraciones del tablero para las que existen al menos dos trayectorias negras no intersecantes desde el borde izquierdo del tablero hasta su borde derecho. Demostrar que $N^{2}\geq M\cdot 2^{mn}$.

Sea $k$ un entero no negativo. Un bosque consiste en árboles enraizados (i. e. orientados). Cada vértice del bosque es una hoja o tiene dos sucesores. Un vértice $v$ se llama un sucesor extendido de un vértice $u$ si hay una cadena de vértices $u_{0}=u$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , ..., $u_{t-1}$ , $u_{t}=v$ con $t>0$ tal que el vértice $u_{i+1}$ es un sucesor del vértice $u_{i}$ para cada entero $i$ con $0\leq i\leq t-1$ . Un vértice se llama dinástico si tiene dos sucesores y cada uno de estos sucesores tiene al menos $k$ sucesores extendidos. Demostrar que si el bosque tiene $n$ vértices, entonces hay a lo sumo $\frac{n}{k+2}$ vértices dinásticos.

Una casa tiene un número par de lámparas distribuidas entre sus habitaciones de tal manera que hay al menos tres lámparas en cada habitación. Cada lámpara comparte un interruptor con exactamente otra lámpara, no necesariamente de la misma habitación. Cada cambio en el interruptor compartido por dos lámparas cambia sus estados simultáneamente. Demostrar que para cada estado inicial de las lámparas existe una secuencia de cambios en algunos de los interruptores al final de los cuales cada habitación contiene lámparas que están encendidas así como lámparas que están apagadas.

Hay $ n$ marcadores, cada uno con un lado blanco y el otro lado negro. Al principio, estos $ n$ marcadores están alineados en una fila de manera que sus lados blancos están todos hacia arriba. En cada paso, si es posible, elegimos un marcador cuyo lado blanco esté hacia arriba (pero no uno de los marcadores más externos), lo quitamos e invertimos el marcador más cercano a la izquierda y también invertimos el marcador más cercano a la derecha. Demostrar que, mediante una secuencia finita de tales pasos, se puede lograr un estado con sólo dos marcadores restantes si y sólo si $ n - 1$ no es divisible por $ 3$ .

Encuentre todos los enteros positivos $ n$ tales que existe un único entero $ a$ tal que $ 0\leq a < n!$ con la siguiente propiedad: \[ n!\mid a^n + 1 \]

Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ , $ e$ , $ f$ enteros positivos y sea $ S = a+b+c+d+e+f$ . Suponga que el número $ S$ divide a $ abc+def$ y $ ab+bc+ca-de-ef-df$ . Demuestre que $ S$ es compuesto.