Sea $a_1,a_2,\ldots$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos y negativos. Suponga que para cada entero positivo $n$ los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ dejan $n$ restos diferentes al dividirlos por $n$. Demuestre que cada entero ocurre exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Determine todos los enteros positivos relativamente primos a todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Sea $n > 2$. Muestra que existe un conjunto de $2^{n-1}$ puntos en el plano, no tres colineales, tal que ningún $2n$ forma un $2n$-gono convexo.

Dos jugadores juegan alternativamente en una cuadrícula cuadrada infinita. El primer jugador coloca una $X$ en una celda vacía y el segundo jugador coloca una $O$ en una celda vacía. El primer jugador gana si obtiene $11$ $X$'s adyacentes en una línea, horizontal, vertical o diagonalmente. Muestra que el segundo jugador siempre puede evitar que el primer jugador gane.

5 chicas están sentadas en una mesa redonda. Inicialmente una chica tiene $n$ fichas. En cada turno, una chica que tiene más de una ficha pasa una ficha a cada una de sus vecinas.\na.) Muestra que si $n < 1994$, el juego debe terminar.\nb.) Muestra que si $n = 1994$ no puede terminar.

Hay $ n + 1$ celdas en una fila etiquetadas de $ 0$ a $ n$ y $ n + 1$ tarjetas etiquetadas de $ 0$ a $ n$. Las tarjetas se colocan arbitrariamente en las celdas, una por celda. El objetivo es llevar la tarjeta $ i$ a la celda $ i$ para cada $ i$. El movimiento permitido es encontrar el $ h$ más pequeño tal que la celda $ h$ tenga una tarjeta con una etiqueta $ k > h$, recoger esa tarjeta, deslizar las tarjetas en las celdas $ h + 1$, $ h + 2$, ... , $ k$ una celda hacia la izquierda y colocar la tarjeta $ k$ en la celda $ k$. Demuestre que se requieren como máximo $ 2^n - 1$ movimientos para colocar cada tarjeta en la celda correcta y que hay una posición inicial única que requiere $ 2^n - 1$ movimientos. [Por ejemplo, si $ n = 2$ y la posición inicial es 210, entonces obtenemos 102, luego 012, un total de 2 movimientos.]

Peter tiene tres cuentas en un banco, cada una con un número entero de dólares. Solo se le permite transferir dinero de una cuenta a otra para que la cantidad de dinero en esta última se duplique. Demuestre que Peter siempre puede transferir todo su dinero a dos cuentas. ¿Puede Peter siempre transferir todo su dinero a una cuenta?

En una determinada ciudad, la edad se calcula en términos de números reales en lugar de enteros. Cada dos ciudadanos $x$ y $x'$ se conocen o no se conocen. Además, si no se conocen, entonces existe una cadena de ciudadanos $x = x_0, x_1, \ldots, x_n = x'$ para algún entero $n \geq 2$ tal que $ x_{i-1}$ y $x_i$ se conocen. En un censo, todos los ciudadanos varones declaran sus edades, y hay al menos un ciudadano varón. Cada ciudadana proporciona solo la información de que su edad es el promedio de las edades de todos los ciudadanos que conoce. Demuestre que esto es suficiente para determinar de manera única las edades de todas las ciudadanas.

Dos jugadores juegan alternativamente en un tablero de $5 \times 5$. El primer jugador siempre ingresa un $1$ en un cuadrado vacío y el segundo jugador siempre ingresa un $0$ en un cuadrado vacío. Cuando el tablero está lleno, se calcula la suma de los números en cada uno de los nueve cuadrados de $3 \times 3$ y el puntaje del primer jugador es la suma más grande. ¿Cuál es el puntaje más grande que el primer jugador puede hacer, independientemente de las respuestas del segundo jugador?

Un número tambaleante es un entero positivo cuyos dígitos son alternativamente cero y no cero con el último dígito no cero (por ejemplo, 201). Encuentra todos los enteros positivos que no dividen a ningún número tambaleante.