Define la secuencia $ a_1, a_2, a_3, ...$ como sigue. $ a_1$ y $ a_2$ son enteros positivos coprimos y $ a_{n + 2} = a_{n + 1}a_n + 1$ . Demuestra que para cada $ m > 1$ existe un $ n > m$ tal que $ a_m^m$ divide a $ a_n^n$ . ¿Es cierto que $ a_1$ debe dividir a $ a_n^n$ para algún $ n > 1$ ?

Define las secuencias $ a_n, b_n, c_n$ como sigue. $ a_0 = k, b_0 = 4, c_0 = 1$ . Si $ a_n$ es par entonces $ a_{n + 1} = \frac {a_n}{2}$ , $ b_{n + 1} = 2b_n$ , $ c_{n + 1} = c_n$ . Si $ a_n$ es impar, entonces $ a_{n + 1} = a_n - \frac {b_n}{2} - c_n$ , $ b_{n + 1} = b_n$ , $ c_{n + 1} = b_n + c_n$ . Encuentra el número de enteros positivos $ k < 1995$ tal que algún $ a_n = 0$ .

Encuentra todos los pares ordenados $ (m,n)$ donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos tales que $ \frac {n^3 + 1}{mn - 1}$ es un entero.

$ M$ es un subconjunto de $ \{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ tal que el producto de cualesquiera tres elementos distintos de $ M$ no es un cuadrado. Determine el número máximo de elementos en $ M.$

Un círculo $ C$ con centro $ O.$ y una línea $ L$ que no toca el círculo $ C.$ $ OQ$ es perpendicular a $ L,$ $ Q$ está en $ L.$ $ P$ está en $ L,$ dibuja dos tangentes $ L_1, L_2$ al círculo $ C.$ $ QA, QB$ son perpendiculares a $ L_1, L_2$ respectivamente. ( $ A$ en $ L_1,$ $ B$ en $ L_2$ ) . Demuestra que, la línea $ AB$ intersecta a $ QO$ en un punto fijo. Formulación original: Una línea $ l$ no se encuentra con un círculo $ \omega$ con centro $ O.$ $ E$ es el punto en $ l$ tal que $ OE$ es perpendicular a $ l.$ $ M$ es cualquier punto en $ l$ diferente de $ E.$ Las tangentes desde $ M$ a $ \omega$ lo tocan en $ A$ y $ B.$ $ C$ es el punto en $ MA$ tal que $ EC$ es perpendicular a $ MA.$ $ D$ es el punto en $ MB$ tal que $ ED$ es perpendicular a $ MB.$ La línea $ CD$ corta a $ OE$ en $ F.$ Demuestra que la ubicación de $ F$ es independiente de la de $ M.$

Sean $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AB = AC$ . $ M$ es el punto medio de $ BC$ y $ O$ es el punto en la línea $ AM$ tal que $ OB$ es perpendicular a $ AB$ . $ Q$ es un punto arbitrario en $ BC$ diferente de $ B$ y $ C$ . $ E$ está en la línea $ AB$ y $ F$ está en la línea $ AC$ tal que $ E, Q, F$ son distintos y colineales. Demuestra que $ OQ$ es perpendicular a $ EF$ si y solo si $ QE = QF$ .

Demuestra que existe un conjunto $ A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito $ S$ de primos, existen dos enteros positivos $ m$ en $ A$ y $ n$ no en $ A$ , cada uno de los cuales es un producto de $ k$ elementos distintos de $ S$ para algún $ k \geq 2$ .

$ ABCD$ es un cuadrilátero con $ BC$ paralelo a $ AD$ . $ M$ es el punto medio de $ CD$ , $ P$ es el punto medio de $ MA$ y $ Q$ es el punto medio de $ MB$ . Las líneas $ DP$ y $ CQ$ se encuentran en $ N$ . Demuestra que $ N$ está dentro del cuadrilátero $ ABCD$

$ C$ y $ D$ son puntos en un semicírculo. La tangente en $ C$ se encuentra con la extensión del diámetro del semicírculo en $ B$ , y la tangente en $ D$ se encuentra con él en $ A$ , de modo que $ A$ y $ B$ están en lados opuestos del centro. Las líneas $ AC$ y $ BD$ se encuentran en $ E$ . $ F$ es el pie de la perpendicular desde $ E$ a $ AB$ . Demuestra que $ EF$ biseca el ángulo $ CFD$

Para cualquier entero positivo $ k$ , sea $ f_k$ el número de elementos en el conjunto $ \{ k + 1, k + 2, \ldots, 2k\}$ cuya representación en base 2 contiene exactamente tres 1s. (a) Demuestra que para cualquier entero positivo $ m$ , existe al menos un entero positivo $ k$ tal que $ f(k) = m$ . (b) Determina todos los enteros positivos $ m$ para los cuales existe exactamente un $ k$ con $ f(k) = m$ .