Sea $ \mathbb{R}$ el conjunto de todos los números reales y $ \mathbb{R}^+$ el subconjunto de todos los positivos. Sean $ \alpha$ y $ \beta$ elementos dados en $ \mathbb{R},$ no necesariamente distintos. Encuentre todas las funciones $ f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ f(x)f(y) = y^{\alpha} f \left( \frac{x}{2} \right) + x^{\beta} f \left( \frac{y}{2} \right) \forall x,y \in \mathbb{R}^+.\]

Sea $ S$ el conjunto de todos los números reales estrictamente mayores que −1. Encuentre todas las funciones $ f: S \to S$ que satisfacen las dos condiciones:\n(a) $ f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x)$ para todos los $ x, y$ en $ S$ ;\n(b) $ \frac {f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los dos intervalos $ - 1 < x < 0$ y $ 0 < x$ .

Sean $ m$ y $ n$ dos enteros positivos. Sean $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_m$ $ m$ números diferentes del conjunto $ \{1, 2,\ldots, n\}$ tal que para dos índices cualesquiera $ i$ y $ j$ con $ 1\leq i \leq j \leq m$ y $ a_i + a_j \leq n$ , existe un índice $ k$ tal que $ a_i + a_j = a_k$ . Demuestre que \[ \frac {a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \geq \frac {n + 1}{2}. \]

Sea $ a_{0} = 1994$ y $ a_{n + 1} = \frac {a_{n}^{2}}{a_{n} + 1}$ para cada entero no negativo $ n$ . Demuestre que $ 1994 - n$ es el entero más grande menor o igual que $ a_{n}$ , $ 0 \leq n \leq 998$

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $\frac{4^n+2^n+1}{n^2+n+1}$ es un entero positivo.

Hallar todos los enteros positivos de cuatro dígitos $\overline{abcd}=10^3a+10^2b+10c+d$ $(a\ne0)$ tales que: $\overline{abcd} =a^{a+b+c+d}-a^{-a+b-c+d}+a$

Hallar todos los pares ordenados de enteros positivos $(m,n)$ tales que : $125*2^n-3^m=271$

Hallar todos los enteros $m$ y $n$ tales que la quinta potencia de $m$ menos la quinta potencia de $n$ es igual a $16mn$.

Sea $XY$ una cuerda de un círculo $\Omega$ , con centro $O$ , que no es un diámetro. Sean $P, Q$ dos puntos distintos dentro del segmento $XY$ , donde $Q$ se encuentra entre $P$ y $X$ . Sea $\ell$ la línea perpendicular trazada desde $P$ al diámetro que pasa por $Q$ . Sea $M$ el punto de intersección de $\ell$ y $\Omega$ , que está más cerca de $P$ . Demuestra que $$ MP \cdot XY \ge 2 \cdot QX \cdot PY$$

Dado un rectángulo $ABCD$ tal que $AB = b > 2a = BC$ , sea $E$ el punto medio de $AD$ . En una línea paralela a $AB$ que pasa por el punto $E$ , se elige un punto $G$ tal que el área de $GCE$ sea $$(GCE)= \frac12 \left(\frac{a^3}{b}+ab\right)$$ El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $E$ a $GD$ y se toma un punto $I$ en la diagonal $AC$ tal que los triángulos $ACE$ y $AEI$ son similares. Las líneas $BH$ e $IE$ se intersecan en $K$ y las líneas $CA$ y $EH$ se intersecan en $J$ . Demuestra que $KJ \perp AB$ .