Sea $ABC$ un triángulo con longitudes de lado $a, b, c$ , inscrito en un círculo con radio $R$ y sea $I$ su incentro. Sean $P_1, P_2$ y $P_3$ las áreas de los triángulos $ABI, BCI$ y $CAI$ , respectivamente. Demuestra que $$\frac{R^4}{P_1^2}+\frac{R^4}{P_2^2}+\frac{R^4}{P_3^2}\ge 16$$

Sean $\triangle ABC$ y $A'$ , $B'$ , $C'$ los simétricos del vértice sobre los lados opuestos. La intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABB'$ y $\triangle ACC'$ es $A_1$ . $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Demuestra que las líneas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^o$ y $AD$ su altitud. Dibujamos líneas paralelas desde $D$ a los lados verticales del triángulo y llamamos $E, Z$ sus puntos de intersección con $AB$ y $AC$ respectivamente. La línea paralela desde $C$ a $EZ$ intersecta la línea $AB$ en el punto $N$. Sea $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a la línea $EZ$ y $I, K$ las proyecciones de $A'$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente. Si $T$ es el punto de intersección de las líneas $IK$ y $DE$, demuestra que $\angle NA'T = \angle ADT$.

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $BC > AC$, inscrito en un círculo $\Gamma$. El círculo con centro $C$ y radio $CB$ intersecta a $\Gamma$ en el punto $D$, que está en el arco $AB$ que no contiene a $C$. El círculo con centro $C$ y radio $CA$ intersecta el segmento $CD$ en el punto $K$. La línea paralela a $BD$ que pasa por $K$, intersecta a $AB$ en el punto $L$. Si $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el pie de la perpendicular de $H$ a $CL$, demuestra que la línea $MN$ biseca el segmento $CH$.

Las celdas de una tabla de $8 \times 8$ son inicialmente blancas. Alice y Bob juegan un juego. Primero Alice pinta $n$ de los campos en rojo. Luego Bob elige $4$ filas y $4$ columnas de la tabla y pinta todos los campos en ellas de negro. Alice gana si queda al menos un campo rojo. Encuentra el valor mínimo de $n$ tal que Alice pueda ganar el juego sin importar cómo juegue Bob.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^o$ y $AD$ su altitud. Dibujamos líneas paralelas desde $D$ a los lados verticales del triángulo y llamamos $E, Z$ sus puntos de intersección con $AB$ y $AC$ respectivamente. La línea paralela desde $C$ a $EZ$ intersecta la línea $AB$ en el punto $N$. Sea $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a la línea $EZ$ y $I, K$ las proyecciones de $A'$ sobre $AB$ y $AC$ respectivamente. Si $T$ es el punto de intersección de las líneas $IK$ y $DE$, demuestra que $\angle NA'T = \angle ADT$.

Un conjunto $S$ se llama vecino si tiene las siguientes dos propiedades: a) $S$ tiene exactamente cuatro elementos b) para cada elemento $x$ de $S$, al menos uno de los números $x - 1$ o $x+1$ pertenece a $S$ . Encuentra el número de todos los subconjuntos vecinos del conjunto $\{1,2,... ,n\}$ .

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que satisfacen lo siguiente: a.) Si $n \in A$, entonces $n \le 2018$. b.) Si $S \subset A$ tal que $|S|=3$, entonces existe $m, n \in S$ tal que $|n-m| \ge \sqrt{n}+\sqrt{m}$ ¿Cuál es la cardinalidad máxima de $A$?

Para $a, b, c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca=3$, demuestra: $ \frac{a}{\sqrt{a^3+5}}+\frac{b}{\sqrt{b^3+5}}+\frac{c}{\sqrt{c^3+5}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Sean $a, b, c, d$ y $x, y, z, t$ números reales tales que $0\le a, b, c, d \le 1$, $x, y, z, t \ge 1$ y $a+b+c+d +x+y+z+t=8$. Demuestra que $a^2+b^2+c^2+d^2+x^2+y^2+z^2+t^2\le 28$.