Sea $k > 1, n > 2018$ enteros positivos, y sea $n$ impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y satisfacen $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Encuentra: \na) El producto $x_1 x_2 \ldots x_n$ como una función de $k$ y $n$ \nb) El valor más pequeño de $k$ , tal que existen $n,x_1,x_2,\ldots,x_n$ satisfaciendo las condiciones dadas.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que $$ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)}\geq\frac{3}{(1+abc)^2}.$$

Encuentra el entero positivo máximo $k$ tal que para cualquier entero positivo $m,n$ tal que $m^3+n^3>(m+n)^2$ , tenemos $$m^3+n^3\geq (m+n)^2+k$$

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar: $\frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z}}}+\frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z}+\sqrt[4]{x}}}+\frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}}\geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}}}$

Un polinomio $P$ con coeficientes enteros es libre de cuadrados si no es expresable en la forma $P = Q^2R$ , donde $Q$ y $R$ son polinomios con coeficientes enteros y $Q$ no es constante. Para un entero positivo $n$ , sea $P_n$ el conjunto de polinomios de la forma\n$$1 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$$\ncon $a_1,a_2,\ldots, a_n \in \{0,1\}$ . Pruebe que existe un entero $N$ tal que para todos los enteros $n \geq N$ , más del $99\%$ de los polinomios en $P_n$ son libres de cuadrados.

Sea $BC$ un segmento fijo en el plano, y sea $A$ un punto variable en el plano que no está en la línea $BC$ . Se eligen puntos distintos $X$ e $Y$ en los rayos $CA^\to$ y $BA^\to$ , respectivamente, tales que $\angle CBX = \angle YCB = \angle BAC$ . Asuma que las tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B$ y $C$ se encuentran con la línea $XY$ en $P$ y $Q$ , respectivamente, tales que los puntos $X$ , $P$ , $Y$ y $Q$ son distintos por parejas y se encuentran en el mismo lado de $BC$ . Sea $\Omega_1$ el círculo que pasa por $X$ y $P$ centrado en $BC$ . Similarmente, sea $\Omega_2$ el círculo que pasa por $Y$ y $Q$ centrado en $BC$ . Pruebe que $\Omega_1$ y $\Omega_2$ se intersecan en dos puntos fijos mientras $A$ varía.

Fije enteros $a$ y $b$ mayores que $1$ . Para cualquier entero positivo $n$ , sea $r_n$ el residuo (no negativo) que $b^n$ deja al dividirlo por $a^n$ . Asuma que existe un entero positivo $N$ tal que $r_n < \frac{2^n}{n}$ para todos los enteros $n\geq N$ . Pruebe que $a$ divide a $b$.

Dado un entero positivo $n$ , una colección $\mathcal{S}$ de $n-2$ ternas no ordenadas de enteros en $\{1,2,\ldots,n\}$ es $n$ -admisible si para cada $1 \leq k \leq n - 2$ y cada elección de $k$ distintos $A_1, A_2, \ldots, A_k \in \mathcal{S}$ tenemos\n$$ \left|A_1 \cup A_2 \cup \cdots A_k \right| \geq k+2.$$\n¿Es cierto que para todo $n > 3$ y para cada colección $n$ -admisible $\mathcal{S}$ , existen puntos $P_1, \ldots , P_n$ distintos por parejas en el plano tales que los ángulos del triángulo $P_iP_jP_k$ son todos menores que $61^{\circ}$ para cualquier terna $\{i, j, k\}$ en $\mathcal{S}$ ?

Considere un primo impar $p$ y un entero positivo $N < 50p$. Sean $a_1, a_2, \ldots , a_N$ una lista de enteros positivos menores que $p$ tales que cualquier valor específico ocurre a lo sumo $\frac{51}{100}N$ veces y $a_1 + a_2 + \cdots· + a_N$ no es divisible por $p$. Pruebe que existe una permutación $b_1, b_2, \ldots , b_N$ de los $a_i$ tal que, para todo $k = 1, 2, \ldots , N$ , la suma $b_1 + b_2 + \cdots + b_k$ no es divisible por $p$.

Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, se coloca un alfil en cada casilla de la fila superior de un tablero de ajedrez de $2^n \times 2^n$; esos alfiles están numerados del $1$ al $2^n$ de izquierda a derecha. Un salto es un movimiento simultáneo realizado por todos los alfiles de tal manera que cada alfil se mueve diagonalmente, en línea recta, un cierto número de casillas, y al final del salto, todos los alfiles se colocan en diferentes casillas de la misma fila. Encuentre el número total de permutaciones $\sigma$ de los números $1, 2, \ldots, 2^n$ con la siguiente propiedad: Existe una secuencia de saltos tal que todos los alfiles terminan en la fila inferior dispuestos en el orden $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n)$ , de izquierda a derecha.