Se dice que una secuencia infinita $ \,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ de números reales está acotada si existe una constante $ \,C\,$ tal que $ \, \vert x_{i} \vert \leq C\,$ para cada $ \,i\geq 0$ . Dado cualquier número real $ \,a > 1,\,$ construye una secuencia infinita acotada $ x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ tal que \[ \vert x_{i} - x_{j} \vert \vert i - j \vert^{a}\geq 1 \] para cada par de enteros no negativos distintos $ i, j$ .

Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestra que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual a $ 30^{\circ }$ .

Suponga que $ \,G\,$ es un grafo conectado con $ \,k\,$ aristas. Demuestra que es posible etiquetar las aristas $ 1,2,\ldots ,k\,$ de tal manera que en cada vértice que pertenezca a dos o más aristas, el máximo común divisor de los enteros que etiquetan esas aristas sea igual a 1. Nota: Definición de grafo. Un grafo consiste en un conjunto de puntos, llamados vértices, junto con un conjunto de aristas que unen ciertos pares de vértices distintos. Cada par de vértices $ \,u,v\,$ pertenece a lo sumo a una arista. El grafo $ G$ está conectado si para cada par de vértices distintos $ \,x,y\,$ existe alguna secuencia de vértices $ \,x = v_{0},v_{1},v_{2},\cdots ,v_{m} = y\,$ tal que cada par $ \,v_{i},v_{i + 1}\;(0\leq i < m)\,$ está unido por una arista de $ \,G$ .

Sea $ S = \{1,2,3,\cdots ,280\}$ . Encuentra el entero más pequeño $ n$ tal que cada subconjunto de $ S$ de $ n$ elementos contenga cinco números que sean pairwise relativamente primos.

Sea $ \,n > 6\,$ un entero y $ \,a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}\,$ sean todos los números naturales menores que $ n$ y relativamente primos con $ n$ . Si \[ a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = \cdots = a_{k} - a_{k - 1} > 0, \] demuestra que $ \,n\,$ debe ser un número primo o una potencia de $ \,2$ .

Dado un triángulo $ \,ABC,\,$ sea $ \,I\,$ el centro de su círculo inscrito. Las bisectrices internas de los ángulos $ \,A,B,C\,$ se encuentran con los lados opuestos en $ \,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }\,$ respectivamente. Demuestra que \[ \frac {1}{4} < \frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AA^{\prime }\cdot BB^{\prime }\cdot CC^{\prime }} \leq \frac {8}{27}. \]

Un rectángulo en el Sistema Cartesiano xy se llama reticulado si todos sus vértices tienen coordenadas enteras. a) Encontrar un rectángulo reticulado de área $2013$, cuyos lados no son paralelos a los ejes. b) Mostrar que si un rectángulo reticulado tiene área $2011$, entonces sus lados son paralelos a los ejes.

Encontrar todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

Resolver en enteros $20^x+13^y=2013^z$.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales $1^3+2^3+\cdots+{16}^3+{17}^n$ es un cuadrado perfecto.