Resolver en enteros el sistema de ecuaciones: $$x^2-y^2=z$$ $$3xy+(x-y)z=z^2$$

Resolver en enteros positivos: $\frac{1}{x^2}+\frac{y}{xz}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{2013}$ .

Sea $I$ el incentro y $AB$ el lado más corto del triángulo $ABC$ . El círculo centrado en $I$ que pasa por $C$ intersecta el rayo $AB$ en $P$ y el rayo $BA$ en $Q$ . Sea $D$ el punto de tangencia del $A$ - excírculo del triángulo $ABC$ con el lado $BC$ . Sea $E$ la reflexión de $C$ con respecto al punto $D$ . Demuestre que $PE\perp CQ$ .

Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alice y Bob, están jugando el siguiente juego: - Alice elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alice escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alice con solo una conjetura. ¿Puede Bob estar seguro de ganar para los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifique su(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$, Alice puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

Sean ${\omega_1}$ , ${\omega_2}$ círculos que son tangentes externamente en el punto M y tangentes internamente con el círculo ${\omega_3}$ en los puntos ${K}$ y $L$ respectivamente. Sean ${A}$ y ${B}$ los puntos donde su tangente común en el punto ${M}$ de los círculos ${\omega_1}$ y ${\omega_2}$ se intersectan con el círculo ${\omega_3.}$ Demostrar que si ${\angle KAB=\angle LAB}$ entonces el segmento ${AB}$ es diámetro del círculo ${\omega_3.}$

Sea ${AB}$ un diámetro de un círculo ${\omega}$ y centro ${O}$ , ${OC}$ un radio de ${\omega}$ perpendicular a $AB$ , ${M}$ un punto del segmento $\left( OC \right)$ . Sea ${N}$ el segundo punto de intersección de la línea ${AM}$ con ${\omega}$ y ${P}$ el punto de intersección de las tangentes de ${\omega}$ en los puntos ${N}$ y ${B.}$ Demuestra que los puntos ${M,O,P,N}$ son concíclicos. (Albania)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circuncírculo $\omega$ . Sea $D$ un punto en el segmento de línea $BC$ tal que $\angle BAD = \angle CAO$ . Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ y la línea $AD$ . Si $M$ , $N$ y $P$ son los puntos medios de los segmentos de línea $BE$ , $OD$ y $AC$ , respectivamente, demuestre que los puntos $M$ , $N$ y $P$ son colineales.

Sean ${\omega_1}$ , ${\omega_2}$ círculos que son tangentes externamente en el punto M y tangentes internamente con el círculo ${\omega_3}$ en los puntos ${K}$ y $L$ respectivamente. Sean ${A}$ y ${B}$ los puntos donde su tangente común en el punto ${M}$ de los círculos ${\omega_1}$ y ${\omega_2}$ se intersectan con el círculo ${\omega_3.}$ Demostrar que si ${\angle KAB=\angle LAB}$ entonces el segmento ${AB}$ es diámetro del círculo ${\omega_3.}$

Encuentra el número máximo de enteros diferentes que se pueden seleccionar del conjunto $ \{1,2,...,2013\}$ de modo que no existan dos cuya diferencia sea igual a $17$.

Demostrar que $\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16$ para todos los números reales positivos $a$ y $b$ tales que $ab\geq 1$.