1 Encuentre todos los pares de números positivos tales que la última cifra de su suma sea 3, su diferencia sea un número primo y su producto sea un cuadrado perfecto.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $BC$, tales que los ángulos $BAE$ y $FAC$ son iguales. Las rectas $AE$ y $AF$ intersecan al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $M$ y $N$. Sobre los rayos $AB$ y $AC$ tenemos puntos $P$ y $R$, tales que el ángulo $PEA$ es igual al ángulo $B$ y el ángulo $AER$ es igual al ángulo $C$. Sea $L$ la intersección de $AE$ y $PR$, y sea $D$ la intersección de $BC$ y $LN$. Demuestre que $$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|EF|}=\frac{1}{|ED|}.$$

2 Sea $m_1<m_2<\cdots<m_s$ una sucesión de $s\ge2$ enteros positivos, ninguno de los cuales puede escribirse como la suma de (dos o más) otros números distintos de la sucesión. Para todo entero $r$ con $1\le r<s$, demuestre que \[ r\cdot m_r+m_s ~\ge~ (r+1)(s-1). \] (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

5 Vero tenía un triángulo isósceles hecho de papel. Usando tijeras, lo dividió en tres triángulos más pequeños y los pintó de azul, rojo y verde. Tras hacerlo, observó que: $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo rojo se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo rojo y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles. Demuestre cómo era el triángulo de Vero y cómo pudo haber hecho los cortes para que esta situación fuera posible.

2 Para números reales positivos $a, b$ y $c$, demuestre que $$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} +\frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} +\frac{c^3}{ c^2 + ca + a^2} \ge\frac{ a + b + c}{3}$$

2 Suponga que se dan $997$ puntos en un plano. Si cada dos puntos están unidos por un segmento de recta cuyo punto medio está coloreado de rojo, demuestre que hay al menos $1991$ puntos rojos en el plano. ¿Puede encontrar un caso especial con exactamente $1991$ puntos rojos?

5 Encuentre una sucesión de longitud máxima que consista en enteros distintos de cero en la cual la suma de cualesquiera siete términos consecutivos sea positiva y la de cualesquiera once términos consecutivos sea negativa.

1 Pedro tiene una baraja de $1001$ cartas, y con un bolígrafo azul ha escrito los números $1, 2, \ldots, 1001$ en las cartas (un número en cada carta). Colocó las cartas en un círculo de manera que los números azules quedaran en la cara inferior de la carta. Luego, para cada carta $C$, tomó $500$ cartas consecutivas que siguen a $C$ (en sentido horario) y denotó por $f(C)$ la cantidad de números azules escritos en esas $500$ cartas que son mayores que el número azul escrito en la propia carta $C$. Finalmente, escribió este número $f(C)$ en la cara superior de la carta $C$ con un bolígrafo rojo. Demuestre que el amigo de Pedro, Basilio, quien ve todos los números rojos en estas cartas, puede determinar el número azul de cada carta.

1 Dados números naturales $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ coprimos dos a dos tales que $ xy + yz + zt = xt $. Demuestre que la suma de los cuadrados de dos de estos números es el doble de la suma de los cuadrados de los dos restantes.

2 Bob eligió seis de los nueve dígitos del $1$ al $9$ y escribió la lista, ordenada de menor a mayor, de todos los números de tres dígitos que se pueden formar usando los dígitos que eligió. En la lista de Bob, el número $317$ aparece en la posición $22$. ¿Qué número aparece en la posición $60$ en la lista de Bob? Encuentre todas las posibilidades.