3 Encuentre todos los enteros positivos $a, b, c, d$ y $n$ que satisfacen $n^a + n^b + n^c = n^d$ y demuestre que estas son las únicas soluciones.

1 Demuestre que dados cualesquiera 9 puntos dentro de un cuadrado de lado 1, siempre podemos encontrar 3 que formen un triángulo con área menor que $\frac 18$. Bulgaria Iris

8-9.3 ¿Es posible dividir todos los subconjuntos no vacíos de un conjunto de 10 elementos en ternas de modo que, en cada terna, dos de los subconjuntos sean disjuntos y su unión dé como resultado el tercero? Propuesto por Vladislav Frank Fedor

1 Encuentre todas las representaciones posibles de $2022$ como una suma de al menos dos enteros positivos consecutivos y demuestre que estas son las únicas representaciones.

2 Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existen un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1, d_2, \ldots, d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1, 2, \ldots, k$. a) ¿Existen infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$, que sea un cuadrado perfecto de un entero?

1 Esta mañana, Emi dejó caer el reloj y a partir de ahí comenzó a moverse más lentamente. Cuando, según el reloj, han pasado $2$ minutos, en realidad han transcurrido $3$. Ahora son las $6:25$ pm y el reloj marca las $3:30$ pm. ¿A qué hora dejó caer Emi el reloj?

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo con ángulo $\angle CAB=60^{\circ}$, sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ y el lado $BC$, y sean $r_B,r_C,r$ los radios respectivos de los incírculos de $ABD$, $ADC$, $ABC$. Sean $b$ y $c$ las longitudes de los lados $AC$ y $AB$ del triángulo. Demuestre que \[ \frac{1}{r_B} +\frac{1}{r_C} ~=~ 2\cdot\left( \frac1r +\frac1b +\frac1c\right)\]

4 Cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ yacen sobre un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden, tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$. Sea $k$ un círculo tangente a $AD$, $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$, $B$ y $C$. Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la recta tangente a $k$ que pasa por $A$, distinta de $AD$. Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$, $BF$, $CE$ y $\tau$.

4 Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo equilátero con altura $1$, y sean $x,y,z$ las distancias desde $P$ a los tres lados del triángulo. Demuestre que \[ x^2+y^2+z^2 ~\ge~ x^3+y^3+z^3 +6xyz \]

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.