Las alturas $AA_1, CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en el punto $H$; $B_0$ es el punto medio de $AC$. Una recta que pasa por $B$ y es paralela a $AC$ corta a $B_0A_1$ y $B_0C_1$ en los puntos $A'$ y $C'$, respectivamente. Demuestre que $AA'$, $CC'$ y $BH$ son concurrentes.

5 Sean $n_1$ , $n_2$ , $\ldots$ , $n_{1998}$ enteros positivos tales que \[ n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2. \] Demuestre que al menos dos de los números son pares. Iris

3 Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las rectas $BI$ y $CI$ cortan a $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demuestre que $AI+BI+CI>BC+KL$. Grecia Iris

2 Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existen un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1, d_2, \ldots, d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1, 2, \ldots, k$. a) ¿Existen infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$, que sea un cuadrado perfecto de un entero?

2 Sea $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Calcule la siguiente expresión en términos de $k$: \[ E(x,y) = \frac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \frac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}. \] Ciprus Valentin

3 Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x^3) + f(y)^3 + f(z)^3 = 3xyz $$ para todos los números reales $x$, $y$ y $z$ con $x+y+z=0$.

1 Sea $$\mathcal{S} :=\{g| g \hspace{0.1cm} \text{es una función } \hspace{0.1cm} C^{2026} \hspace{0.1cm} \text{en} \hspace{0.1cm} \mathbb{R} \hspace{0.1cm} \text{tal que} \hspace{0.1cm}g^{(2026)}(x)=g(g(x))\}$$ Aquí $g^{(2026)}$ es la derivada $2026$-ésima de $g$. Suponga que para $f \in \mathcal{S}$ se da que $f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0 \hspace{0.1cm} \forall \hspace{0.1cm} n \in \mathbb{N},$ ¿cuál es el valor de $f(e+\pi)?$

2 Julia tiene $289$ monedas guardadas en cajas: todas las cajas contienen el mismo número de monedas (el cual es mayor que $1$) y en cada caja hay monedas del mismo país. Las monedas de Bolivia son más del $6\%$ del total, las de Chile son más del $12\%$ del total, las de México son más del $24\%$ del total y las de Perú son más del $36\%$ del total. ¿Puede Julia tener alguna moneda de Uruguay?

2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.

4 Tenemos cuatro triángulos equiláteros blancos de $3$ cm de lado y los unimos por sus lados para obtener una pirámide de base triangular. En cada arista de la pirámide marcamos dos puntos rojos que la dividen en tres partes iguales. Numere los puntos rojos, de tal manera que al recorrerlos en el orden en que fueron numerados, resulte un camino con el menor perímetro posible. ¿Cuánto mide dicho camino?