1 Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$-gono regular. Alice realiza el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos, donde $k$ es el número de vértices adyacentes a $V$ que ya están coloreados. (Por lo tanto, $k$ es $0$, $1$ o $2$). El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen la misma cantidad de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.

4 Cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ yacen sobre un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden, tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$. Sea $k$ un círculo tangente a $AD$, $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$, $B$ y $C$. Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la recta tangente a $k$ que pasa por $A$, distinta de $AD$. Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$, $BF$, $CE$ y $\tau$.

2 Julia tiene $289$ monedas guardadas en cajas: todas las cajas contienen el mismo número de monedas (el cual es mayor que $1$) y en cada caja hay monedas del mismo país. Las monedas de Bolivia son más del $6\%$ del total, las de Chile son más del $12\%$ del total, las de México son más del $24\%$ del total y las de Perú son más del $36\%$ del total. ¿Puede Julia tener alguna moneda de Uruguay?

1 Pedro tiene una baraja de $1001$ cartas, y con un bolígrafo azul ha escrito los números $1, 2, \ldots, 1001$ en las cartas (un número en cada carta). Colocó las cartas en un círculo de manera que los números azules quedaran en la cara inferior de la carta. Luego, para cada carta $C$, tomó $500$ cartas consecutivas que siguen a $C$ (en sentido horario) y denotó por $f(C)$ la cantidad de números azules escritos en esas $500$ cartas que son mayores que el número azul escrito en la propia carta $C$. Finalmente, escribió este número $f(C)$ en la cara superior de la carta $C$ con un bolígrafo rojo. Demuestre que el amigo de Pedro, Basilio, quien ve todos los números rojos en estas cartas, puede determinar el número azul de cada carta.

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.

1 Encuentre todas las representaciones posibles de $2022$ como una suma de al menos dos enteros positivos consecutivos y demuestre que estas son las únicas representaciones.

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo con ángulo $\angle CAB=60^{\circ}$, sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ y el lado $BC$, y sean $r_B,r_C,r$ los radios respectivos de los incírculos de $ABD$, $ADC$, $ABC$. Sean $b$ y $c$ las longitudes de los lados $AC$ y $AB$ del triángulo. Demuestre que \[ \frac{1}{r_B} +\frac{1}{r_C} ~=~ 2\cdot\left( \frac1r +\frac1b +\frac1c\right)\]

Calvin y Hobbes eligen alternativamente (Calvin primero) $2026$ enteros $(x_{k})_{k=1}^{2026} \ge n\ge 1$. Sea $\mathcal{C_{k}}$ el círculo en el plano que pasa por el origen con centro $\left(\frac{1}{x_{k}},0\right)$. La señorita Wormwood elige un punto $T$ al azar que se encuentra fuera del círculo más pequeño y dentro del círculo más grande. Sea $q$ el menor entero tal que $T$ se encuentra fuera de $\mathcal{C_{q}}$. Calvin gana si $x_{q}$ fue elegido por él. Hobbes gana en caso contrario. Encuentre la suma de todos los valores posibles de $n \leqslant 2026$ para los cuales Hobbes tiene una estrategia para tener una mayor probabilidad de ganar.

3 Rodolfo y Gabriela tienen $9$ fichas numeradas del $1$ al $9$ y se divierten con el siguiente juego: retiran las fichas una por una y de forma alterna (hasta que cada uno tenga $3$ fichas), con las siguientes reglas: $\bullet$ Rodolfo comienza el juego, eligiendo una ficha y en los siguientes turnos debe retirar, cada vez, una ficha tres unidades mayor que la última ficha retirada por Gabriela. $\bullet$ Gabriela, en su turno, elige una primera ficha y en las siguientes ocasiones debe retirar, cada vez, una ficha dos unidades menor que la última ficha que ella misma retiró. $\bullet$ El juego lo gana quien obtenga el número más alto al sumar sus tres fichas. $\bullet$ Si el juego no puede completarse, se declara un empate. Si juegan sin cometer errores, ¿cómo debe jugar Rodolfo para asegurarse de no perder?