3 Para todos los números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$, demuestre que $$ \frac{a_1\! +\! a_2}{2} \cdot \frac{a_2\! +\! a_3}{2} \cdot \dots \cdot \frac{a_n\! +\! a_1}{2} \leq \frac{a_1\!+\!a_2\!+\!a_3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{a_2\!+\!a_3\!+\!a_4}{2 \sqrt{2}} \cdot \dots \cdot \frac{a_n\!+\!a_1\!+\!a_2}{2 \sqrt{2}}.$$

Las alturas $AA_1, CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en el punto $H$; $B_0$ es el punto medio de $AC$. Una recta que pasa por $B$ y es paralela a $AC$ corta a $B_0A_1$ y $B_0C_1$ en los puntos $A'$ y $C'$, respectivamente. Demuestre que $AA'$, $CC'$ y $BH$ son concurrentes.

3 Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las rectas $BI$ y $CI$ cortan a $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demuestre que $AI+BI+CI>BC+KL$. Grecia Iris

5 Sean $n_1$ , $n_2$ , $\ldots$ , $n_{1998}$ enteros positivos tales que \[ n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{1997}^2 = n_{1998}^2. \] Demuestre que al menos dos de los números son pares. Iris

3 Encuentre todos los enteros positivos $a, b, c, d$ y $n$ que satisfacen $n^a + n^b + n^c = n^d$ y demuestre que estas son las únicas soluciones.

1 Demuestre que dados cualesquiera 9 puntos dentro de un cuadrado de lado 1, siempre podemos encontrar 3 que formen un triángulo con área menor que $\frac 18$. Bulgaria Iris

4 Determine el triángulo con lados $a,b,c$ y circunradio $R$ para el cual $R(b+c) = a\sqrt{bc}$. Romania Valentin

3 Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x^3) + f(y)^3 + f(z)^3 = 3xyz $$ para todos los números reales $x$, $y$ y $z$ con $x+y+z=0$.

2 Sea $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Calcule la siguiente expresión en términos de $k$: \[ E(x,y) = \frac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \frac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}. \] Ciprus Valentin

2 Decimos que un entero positivo $n$ es encantador si existen un entero positivo $k$ y enteros positivos (no necesariamente distintos) $d_1, d_2, \ldots, d_k$ tales que $n = d_1d_2\cdots d_k$ y $d_i^2 \mid n + d_i$ para $i=1, 2, \ldots, k$. a) ¿Existen infinitos números encantadores? b) ¿Existe un número encantador, mayor que $1$, que sea un cuadrado perfecto de un entero?