1 Dados números naturales $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ coprimos dos a dos tales que $ xy + yz + zt = xt $. Demuestre que la suma de los cuadrados de dos de estos números es el doble de la suma de los cuadrados de los dos restantes.

4 Cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ yacen sobre un círculo $\tau$ en sentido horario en ese orden, tales que $AB \parallel CE$ y $\angle ABC > 90^{\circ}$. Sea $k$ un círculo tangente a $AD$, $CE$ y $\tau$ tal que $k$ y $\tau$ se tocan en el arco $\widehat{DE}$ que no contiene a $A$, $B$ y $C$. Sea $F \neq A$ la intersección de $\tau$ y la recta tangente a $k$ que pasa por $A$, distinta de $AD$. Demuestre que existe un círculo tangente a $BD$, $BF$, $CE$ y $\tau$.

4 Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de $2n^2$ colores de tal manera que cada color se utiliza exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, ella solo puede moverse de una de las siguientes dos maneras: o camina a una celda adyacente o se teletransporta a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y debe comenzar con una teletransportación.

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que este se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Se trazan las rectas $r$ y $s$ que pasan por $E$ tales que $r$ es perpendicular a $BC$ y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestre que $M$, $N$ y $P$ están alineados.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico que no es un trapecio y cuyas diagonales se cortan en $E$. Los puntos medios de $AB$ y $CD$ son $F$ y $G$ respectivamente, y $\ell$ es la recta que pasa por $G$ y es paralela a $AB$. Los pies de las perpendiculares desde $E$ a las rectas $\ell$ y $CD$ son $H$ y $K$, respectivamente. Demuestre que las rectas $EF$ y $HK$ son perpendiculares.

4 Demuestre que el número $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ no es primo, donde $n$ es un entero positivo.

3 Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto fuera de él tal que $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ y el área del pentágono $ABPCD$ es igual a $AB^{2}$. Demuestre que $ABPCD$ puede dividirse en 3 piezas mediante cortes rectos de tal manera que se pueda construir un cuadrado usando esas 3 piezas, sin dejar huecos ni superponer las piezas. Nota: las piezas pueden rotarse y voltearse.

6 Dado un rectángulo $ABCD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de tal manera que el área de los triángulos $ABE$, $ECF$ y $FDA$ es igual a $1$. Determine el área del triángulo $AEF$.

1 Dos círculos $G_1$ y $G_2$ se cortan en dos puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la recta tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, de modo que $M$ se encuentre más cerca de $AB$ que $N$. Sea $CD$ la recta paralela a $AB$ que pasa por el punto $M$, con $C$ en $G_1$ y $D$ en $G_2$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$; las rectas $AN$ y $CD$ se cortan en $P$; las rectas $BN$ y $CD$ se cortan en $Q$. Demuestre que $EP = EQ$. Valentin

2 En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$, $C_2$ dos círculos con centros $O_1$, $O_2$ y radios $r_1$, $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$ y tales que $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente entre sí en $A$. Demuestre que las tres rectas $OA$, $O_1 A_2$ y $O_2 A_1$ son concurrentes.