3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 ¿Para qué $n\ge 3$ existen enteros positivos $a_1<a_2<\cdots <a_n$ tales que: $$a_n=a_1+...+a_{n-1}, \hspace{0.5cm} \frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$ sean ambas ciertas? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

3 Sea $n$ un entero positivo. Existen $n$ ternas ordenadas $$(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), \dots, (x_n, y_n, z_n)$$ donde cada coordenada es un entero entre $1$ y $100$ (inclusive), que satisfacen la siguiente condición: Para toda sucesión infinita $(a_1, a_2, a_3, \dots)$ de enteros entre $1$ y $100$, existen un entero positivo $i$ y un índice $j$ (con $1 \leqslant j \leqslant n$) tales que $(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}) = (x_j, y_j, z_j)$. Determine el valor mínimo posible de $n$.

1 Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos sucesiones $a_0, a_1, a_2, \dots$ y $b_0, b_1, b_2, \dots$ de números reales mediante $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2, \dots$. Encuentre todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

2 Dados números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestre que \[\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

2 Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: seleccionamos cualquier cantidad impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo: Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$, podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1, 4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$

5 Cada una de las $2025$ personas dispuestas en un círculo es un caballero, que siempre dice la verdad, o un mentiroso, que siempre miente. Cada una de estas $2025$ personas dijo: Hay exactamente tres caballeros entre mis dos vecinos de la izquierda, mis dos vecinos de la derecha y yo. ¿Cuál es el número máximo posible de caballeros entre estas personas?

Los números del $1$ al $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida consiste en borrar dos números $a$ y $b$ de la pizarra y reemplazarlos por el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestre que, sin importar cuántas operaciones se realicen, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

6 Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida consiste en elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y añadir $A \cup B$ a $F$ (sin eliminar $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ contiene todos los subconjuntos que tienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ utilizando jugadas válidas. Determine el número mínimo de jugadas requeridas para alcanzar el objetivo.

3 En el plano cartesiano dibujamos circunferencias de radio 1/20 centradas en cada punto de red. Demuestre que cualquier circunferencia de radio 100 en el plano cartesiano interseca al menos una de las circunferencias pequeñas. Davi