7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

4 Sea $k$ un entero fijo. En la ciudad de Ivanland, hay al menos $k+1$ ciudadanos situados en un plano tales que las distancias entre cualesquiera dos ciudadanos son distintas. Se va a celebrar una elección de modo que cada ciudadano vota al $k$-ésimo ciudadano más cercano para ser el presidente. ¿Cuál es el número máximo de votos que puede tener un ciudadano? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

5 Sea $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$ con $\angle CAB = 90^\circ$. Las medianas que pasan por $B$ y $C$ se cortan con $\Omega$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. La tangente a $\Omega$ en $D$ corta a la recta $AC$ en $X$ y la tangente a $\Omega$ en $E$ corta a la recta $AB$ en $Y$. Demuestre que la recta $XY$ es tangente a $\Omega$.

Los números del $1$ al $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida consiste en borrar dos números $a$ y $b$ de la pizarra y reemplazarlos por el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestre que, sin importar cuántas operaciones se realicen, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

1 A cada punto $P$ en el espacio se le asigna un número real $f(P)$ de tal manera que $$f(A) + f(B) = f(C) + f(D)$$ para todo tetraedro regular $ABCD$ con longitud de lado $1$. Demuestre que la función $f$ es constante.

6 Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida consiste en elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y añadir $A \cup B$ a $F$ (sin eliminar $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ contiene todos los subconjuntos que tienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ utilizando jugadas válidas. Determine el número mínimo de jugadas requeridas para alcanzar el objetivo.

1 ¿Para qué $n\ge 3$ existen enteros positivos $a_1<a_2<\cdots <a_n$ tales que: $$a_n=a_1+...+a_{n-1}, \hspace{0.5cm} \frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$ sean ambas ciertas? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 Dado un par $(a_0, b_0)$ de números reales, definimos dos sucesiones $a_0, a_1, a_2, \dots$ y $b_0, b_1, b_2, \dots$ de números reales mediante $a_{n+1}= a_n + b_n$ y $b_{n+1}=a_nb_n$ para todo $n = 0, 1, 2, \dots$. Encuentre todos los pares $(a_0, b_0)$ de números reales tales que $a_{2022}= a_0$ y $b_{2022}= b_0$.

4 Sean $x; y; m; n$ enteros mayores que $1$ tales que

3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin