5 Sea $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$ con $\angle CAB = 90^\circ$. Las medianas que pasan por $B$ y $C$ se cortan con $\Omega$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. La tangente a $\Omega$ en $D$ corta a la recta $AC$ en $X$ y la tangente a $\Omega$ en $E$ corta a la recta $AB$ en $Y$. Demuestre que la recta $XY$ es tangente a $\Omega$.

4 Sea $k$ un entero fijo. En la ciudad de Ivanland, hay al menos $k+1$ ciudadanos situados en un plano tales que las distancias entre cualesquiera dos ciudadanos son distintas. Se va a celebrar una elección de modo que cada ciudadano vota al $k$-ésimo ciudadano más cercano para ser el presidente. ¿Cuál es el número máximo de votos que puede tener un ciudadano? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 ¿Para qué $n\ge 3$ existen enteros positivos $a_1<a_2<\cdots <a_n$ tales que: $$a_n=a_1+...+a_{n-1}, \hspace{0.5cm} \frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$ sean ambas ciertas? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 Sea $n$ un entero mayor o igual a $2$. Considere números reales $a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ que satisfacen la condición \[ |a_k - a_{n+k}| \geqslant 1 \quad \text{para todo } 1 \leqslant k \leqslant n. \] Determine el valor mínimo posible de \[ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + \dots + (a_{2n-1} - a_{2n})^2 + (a_{2n} - a_1)^2. \]

1 Una partición de un entero positivo es par si todos sus elementos son números pares. De manera similar, una partición es impar si todos sus elementos son impares. Determine todos los enteros positivos $n$ tales que el número de particiones pares de $n$ sea igual al número de particiones impares de $n$. Observación: Una partición de un entero positivo $n$ es una sucesión no decreciente de enteros positivos cuya suma de elementos es igual a $n$. Por ejemplo, $(2; 3; 4), (1; 2; 2; 2; 2)$ y $(9)$ son particiones de $9.$

5 ¿Existe un entero positivo $ n$ tal que $ n$ tiene exactamente 2000 divisores primos y $ n$ divide a $ 2^n + 1$ ? Valentin

2 Decimos que un número de 20 dígitos es especial si es imposible representarlo como el producto de un número de 10 dígitos por un número de 11 dígitos. Encuentre la cantidad máxima de números consecutivos que son especiales.

2 Un par de enteros positivos $(a,b)$ se llama charrua si existe un entero positivo $c$ tal que $a+b+c$ y $a\times b\times c$ son ambos números cuadrados; si no existe tal número $c$, entonces el par se llama no charrua. a) Demuestre que existen infinitos pares no charrua. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $(2,n)$ es charrua.

4 Sean $x; y; m; n$ enteros mayores que $1$ tales que

7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.