1 Se da un triángulo con lados $a$ , $b$ y $c$. Denotemos por $s$ el semiperímetro, es decir $s = \frac{a + b + c}{2}$. Construya un triángulo con lados $s - a$ , $s - b$ y $s - c$. Este proceso se repite hasta que ya no se pueda construir un triángulo con las longitudes de los lados dadas. ¿Para qué triángulos originales se puede repetir este proceso indefinidamente?

2 Dados números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$, demuestre que \[\dfrac{x(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

4 Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros que satisfacen las siguientes condiciones para todo entero $n \geqslant 2$: $f(n) > 0$ y $f(n)$ divide a $n^{f(n)} - 1$.

2 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$ . Demuestre que \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \] Valentin

5 ¿Existe un entero positivo $ n$ tal que $ n$ tiene exactamente 2000 divisores primos y $ n$ divide a $ 2^n + 1$ ? Valentin

4 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ cortan a la recta $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $p$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$, y sea $q$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$. Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan en la recta $BC$.

5 Cada una de las $2025$ personas dispuestas en un círculo es un caballero, que siempre dice la verdad, o un mentiroso, que siempre miente. Cada una de estas $2025$ personas dijo: Hay exactamente tres caballeros entre mis dos vecinos de la izquierda, mis dos vecinos de la derecha y yo. ¿Cuál es el número máximo posible de caballeros entre estas personas?

7 Cada vértice de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se refleja a través de los dos lados que no lo contienen (el vértice $A$ se refleja a través de $BC$ y a través de $CD$, y así sucesivamente). Demuestre que $4$ de los $8$ puntos así obtenidos son vértices de un cuadrilátero cíclico o circunscrito.

6 En una sucesión $(x_n)$, el número $x_1$ es positivo y racional, y $$x_{n+1} =\frac{\{nx_n\}}{n} \,\,\, \text{para} \,\,\, n \ge 1$$ ( $\{a\}$ denota la parte fraccionaria de $a$ ). Demuestre que esta sucesión contiene solo un número finito de términos distintos de cero y que su suma es un entero.

2 Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: seleccionamos cualquier cantidad impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo: Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$, podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1, 4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$