Una tabla de $5 \times 5$ se llama regular si cada una de sus celdas contiene uno de cuatro números reales distintos entre sí, tales que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada subtabla de $2 \times 2$. La suma de todos los números de una tabla regular se llama suma total de la tabla. Con cualesquiera cuatro números, se construyen todas las tablas regulares posibles, se calculan sus sumas totales y se cuenta el número de resultados distintos. Determine el máximo conteo posible.

3 Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ vacas moradas y $n$ vacas blancas haciendo fila en algún orden. Tim desea ordenar las vacas por color, de tal manera que todas las vacas moradas estén al frente de la fila. En cada paso, solo se le permite intercambiar dos grupos adyacentes de igual número de vacas consecutivas. ¿Cuál es el número mínimo de pasos que Tim necesita para poder cumplir su deseo, independientemente de la alineación inicial de las vacas?

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $AB, CD, EF$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABP$.

5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Dentro del triángulo, se eligen puntos distintos $A_1, B_1, C_1$ tales que \[ \frac{AB_1}{CB_1} = \frac{AB}{CB} \quad \text{y} \quad \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{BC}. \] Sean $A_2, B_2, C_2$ las reflexiones de $A_1, B_1, C_1$ respecto a las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Estos puntos satisfacen las siguientes condiciones: Los cuatro puntos $A, A_2, B, C_2$ son concíclicos. Los cuatro puntos $A, A_2, B_2, C$ son concíclicos. Los cuatro puntos $B, B_2, C, C_2$ son concíclicos. Los tres puntos $A_2, B_2, C_2$ no yacen sobre el circuncírculo del $\triangle{ABC}$. Demuestre que los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ son semejantes.

2 Sea $ABC$ un triángulo con $|AB|< |AC|$. Sea $k$ el circuncírculo del $\triangle ABC$ y sea $O$ el centro de $k$. El punto $M$ es el punto medio del arco $BC$ de $k$ que no contiene a $A$. Sea $D$ la segunda intersección de la recta perpendicular desde $M$ a $AB$ con $k$, y sea $E$ la segunda intersección de la recta perpendicular desde $M$ a $AC$ con $k$. Los puntos $X$ e $Y$ son las intersecciones de $CD$ y $BE$ con $OM$, respectivamente. Denotemos por $k_b$ y $k_c$ los circuncírculos de los triángulos $BDX$ y $CEY$, respectivamente. Sean $G$ y $H$ las segundas intersecciones de $k_b$ y $k_c$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Denotemos por $k_a$ el circuncírculo del triángulo $AGH$. Demuestre que $O$ es el circuncentro del $\triangle O_aO_bO_c$, donde $O_a, O_b, O_c$ son los centros de $k_a, k_b, k_c$ respectivamente.

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ pasan por un punto $A$ y son tangentes a una recta $\ell$ en $B_1$ y $B_2$, respectivamente. Una recta variable $m$ pasa por $A$ y corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ nuevamente en puntos (variables) $P_1$ y $P_2$, respectivamente. Los rayos $P_1B_1$ y $P_2B_2$ se intersecan en un punto $P$. Demuestre que la tangente al circuncírculo de $PP_1P_2$ en $P$ pasa por un punto independiente de la elección de $m$.

3 Sea $ n \geq 2$ un entero positivo y $ \lambda$ un número real positivo. Inicialmente hay $ n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como la elección de dos pulgas en algunos puntos $ A$ y $ B$ , con $ A$ a la izquierda de $ B$ , y permitiendo que la pulga de $ A$ salte sobre la pulga de $ B$ hasta el punto $ C$ de modo que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$ . Determine todos los valores de $ \lambda$ tales que, para cualquier punto $ M$ en la línea y para cualquier posición inicial de las $ n$ pulgas, exista una sucesión de movimientos que las lleve a todas a una posición a la derecha de $ M$ . Valentin

2 Ivan está jugando con Lego usando $4n^2$ bloques de $1 \times 2$. Primero, coloca $2n^2$ bloques de $1 \times 2$ para formar un cuadrado de $2n \times 2n$ como capa inferior. Luego, construye la capa superior sobre la capa inferior utilizando los $2n^2$ bloques de $1 \times 2$ restantes. Tenga en cuenta que los bloques de la capa inferior están conectados a los bloques de arriba en la capa superior, tal como los bloques de Lego reales. Él desea que toda la construcción de dos capas esté conectada y no en piezas separadas. Demuestre que si puede hacerlo, entonces los cuatro bloques de $1 \times 2$ que conectan las cuatro esquinas de la capa inferior deben estar todos colocados horizontalmente o todos verticalmente. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

6 Dado un rectángulo $ABCD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de tal manera que el área de los triángulos $ABE$, $ECF$ y $FDA$ es igual a $1$. Determine el área del triángulo $AEF$.

2 En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$, $C_2$ dos círculos con centros $O_1$, $O_2$ y radios $r_1$, $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$ y tales que $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente entre sí en $A$. Demuestre que las tres rectas $OA$, $O_1 A_2$ y $O_2 A_1$ son concurrentes.