Sean $a_1, . . . , a_n$ números positivos y $b_1, . . . , b_n, c, d$ números reales que satisfacen $$[a_1x + b_1] + . . . + [a_nx + b_n] = [cx + d]$$ para todo número real $x$. Demuestre que $a_1, . . . , a_n$ no pueden ser todos distintos.

2 Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: seleccionamos cualquier cantidad impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo: Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$, podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1, 4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$

3 Encuentre todos los polinomios mónicos $f$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente condición: existe un entero positivo $N$ tal que $p$ divide a $2(f(p)!)+1$ para todo número primo $p>N$ para el cual $f(p)$ es un entero positivo. Nota: Un polinomio mónico tiene un coeficiente principal igual a 1. (Grecia - Panagiotis Lolas y Silouanos Brazitikos)

1 Sea $S(n)$ la suma de todos los dígitos del número natural $n$. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales ambos números $n + S(n)$ y $n - S(n)$ son potencias cuadradas de enteros distintos de cero.

1 A cada punto $P$ en el espacio se le asigna un número real $f(P)$ de tal manera que $$f(A) + f(B) = f(C) + f(D)$$ para todo tetraedro regular $ABCD$ con longitud de lado $1$. Demuestre que la función $f$ es constante.

5 Sea $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$ con $\angle CAB = 90^\circ$. Las medianas que pasan por $B$ y $C$ se cortan con $\Omega$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. La tangente a $\Omega$ en $D$ corta a la recta $AC$ en $X$ y la tangente a $\Omega$ en $E$ corta a la recta $AB$ en $Y$. Demuestre que la recta $XY$ es tangente a $\Omega$.

4 Sean $a, b$ y $c$ enteros tales que $a + b + c = 0$. (a) Demuestre que $a^4 + b^4 + c^4$ es divisible por $a^2 + b^2 + c^2$. (b) Demuestre que $a^{100} + b^{100} + c^{100}$ es divisible por $a^2 + b^2 + c^2$.

5 En un tablero de $8$ casillas —como el que se muestra en la figura— hay inicialmente una ficha en cada casilla. $ \begin{tabular}{ | l | c | c |c | c| c | c | c | r| } \hline & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} $ Un movimiento consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla a la derecha y la otra una casilla a la izquierda. Si después de $4$ movimientos las $8$ fichas están distribuidas en solo $2$ casillas, determine cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.

2b ¿Qué enteros positivos $a$ tienen la propiedad de que $n!-a$ es un cuadrado perfecto para infinitos enteros positivos $n$?

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ corta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$. Propuesto por Iman Maghsoudi