2 Ivan está jugando con Lego usando $4n^2$ bloques de $1 \times 2$. Primero, coloca $2n^2$ bloques de $1 \times 2$ para formar un cuadrado de $2n \times 2n$ como capa inferior. Luego, construye la capa superior sobre la capa inferior usando los $2n^2$ bloques de $1 \times 2$ restantes. Note que los bloques en la capa inferior están conectados a los bloques de arriba en la capa superior, tal como los bloques de Lego reales. Él desea que toda la construcción de dos capas esté conectada y no en piezas separadas. Demuestre que si puede hacerlo, entonces los cuatro bloques de $1 \times 2$ que conectan las cuatro esquinas de la capa inferior deben estar todos colocados horizontalmente o todos verticalmente. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB<CD$. Las diagonales se intersecan en el punto $F$ y las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $E$. Sean $K$ y $L$ las proyecciones ortogonales de $F$ sobre las rectas $AD$ y $BC$ respectivamente, y sean $M$, $S$ y $T$ los puntos medios de $EF$, $CF$ y $DF$ respectivamente. Demuestre que el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $MKT$ y $MLS$ yace sobre el segmento $CD$. (Grecia - Silouanos Brazitikos)

3 Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$; sean $N$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestre que los círculos que contienen a los triángulos $NAP$, $NBQ$, $MQD$ y $MPC$ se intersecan en un mismo punto.

3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 Un rectángulo dado $ R$ se divide en $mn$ rectángulos pequeños mediante líneas rectas paralelas a sus lados. (Las distancias entre las líneas paralelas pueden no ser iguales). ¿Cuál es el número mínimo de áreas de rectángulos seleccionados apropiadamente que deben conocerse para determinar el área de $ R$ ?

4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

1b En Duckville hay un trofeo perpetuo con las palabras “Mejor niño de Duckville” grabadas en él. Cada habitante de Duckville tiene una lista no vacía (que nunca cambia) de otros habitantes de Duckville. Quien recibe el trofeo puede conservarlo durante un día y, al día siguiente, se lo pasa a alguien de su lista. Gregers ha recibido el trofeo anteriormente. Resulta que cada vez que lo recibe, tiene garantizado recibirlo de nuevo exactamente $2025$ días después (aunque quizás también antes). Hedvig recibió el trofeo hoy. Determine todos los enteros $n>0$ para los cuales podemos estar absolutamente seguros de que ella no puede recibir el trofeo de nuevo en $n$ días, dada la información anterior.

3 Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Estos dos círculos se cortan en los puntos $X$ e $Y$. $AB$ es una recta tangente común a estos dos círculos tal que $A$ está en $\omega_1$ y $B$ está en $\omega_2$. Sean las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $X$ que cortan a $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Suponga que la recta $BL$ corta a $\omega_2$ por segunda vez en $M$ y la recta $AK$ corta a $\omega_1$ por segunda vez en $N$. Demuestre que las rectas $AM$, $BN$ y $O_1O_2$ son concurrentes. Propuesto por Dominik Burek - Polonia

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ corta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$. Propuesto por Iman Maghsoudi

5 En un tablero de $8$ casillas —como el que se muestra en la figura— hay inicialmente una ficha en cada casilla. $ \begin{tabular}{ | l | c | c |c | c| c | c | c | r| } \hline & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} $ Un movimiento consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla a la derecha y la otra una casilla a la izquierda. Si después de $4$ movimientos las $8$ fichas están distribuidas en solo $2$ casillas, determine cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.