3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y$ reales, se cumple la siguiente relación: $$(x+y) \cdot f(x+y)= f(f(x)+y) \cdot f(x+f(y)).$$ Propuesto por Vadym Koval (Ucrania)

1 En un juego, un jugador puede subir hasta 16 niveles. En cada nivel, el jugador puede mejorar una habilidad gastando ese nivel en ella. Existen tres tipos de habilidades; sin embargo, una habilidad no puede ser mejorada antes del nivel 6 por primera vez. Y esa habilidad especial no puede ser mejorada antes del nivel 11. Las otras habilidades pueden ser mejoradas en cualquier nivel, cualquier cantidad de veces (posiblemente 0), pero la habilidad especial necesita ser mejorada exactamente dos veces. ¿De cuántas maneras pueden ser mejoradas estas habilidades?

Sea $m \in \mathbb{N}$ tal que $\gcd(m,6)=1$. Sea $S_{m}$ el conjunto de números menores que $m$ y coprimos con $m$. Sea $\sum_{n \in S_{m}} \frac{1}{n} = \frac{A}{B}$, con $A, B \in \mathbb{N}$. Demuestre que $m^{2}$ divide a $A$.

3 En el triángulo $ABC$, se dan el ángulo $\alpha = \angle BAC$ y el lado $a = BC$. Suponga que $a = \sqrt{rR}$, donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio. Calcule todas las longitudes posibles de los lados $AB$ y $AC$.

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio de $AO$. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a la altura $AD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABE$ y $ACF$, respectivamente. Demuestre que $M$ se encuentra sobre $O_1O_2$.

4 Sea ${A}_{n}$ el número de permutaciones $a_{1}, a_{2},..,a_{n}$ de $1,2,3..n$ tales que $\mid{a}_{k}-{k}\mid=0$ o $1$ o $2$. Cuando $n\ge6$, demuestre que ${A}_{n}={2A}_{n-1}+2{A}_{n-3}-{A}_{n-5}$.

5 Sean los puntos $A, B$ y $C$ situados en la parábola $\Delta$ tales que el punto $H$, ortocentro del triángulo $ABC$, coincide con el foco de la parábola $\Delta$. Demuestre que al cambiar la posición de los puntos $A, B$ y $C$ en $\Delta$ de modo que el ortocentro permanezca en $H$, el inradio del triángulo $ABC$ permanece constante. Propuesto por Mahdi Etesamifard

1 ¿Para qué $n\ge 3$ existen enteros positivos $a_1<a_2<\cdots <a_n$ tales que: $$a_n=a_1+...+a_{n-1}, \hspace{0.5cm} \frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$ sean ambas ciertas? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

5 El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AC$ en $D$. Demuestre que el círculo que es tangente a los rayos $[BD)$, $[DC)$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ es igual al excírculo de $ABC$ correspondiente al ángulo $\angle{B}$.

2 Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre los puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestre que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$ Dan Schwarz, Rumania