2014.1

1 Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestre que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero. Dan Schwarz, Rumania

5 El caracol Turbo juega en un tablero con $2024$ filas y $2023$ columnas. Hay monstruos ocultos en $2022$ de las celdas. Inicialmente, Turbo no sabe dónde están los monstruos, pero sabe que hay exactamente un monstruo en cada fila, excepto en la primera y en la última, y que cada columna contiene como máximo un monstruo. Turbo realiza una serie de intentos para ir desde la primera fila hasta la última. En cada intento, elige comenzar en cualquier celda de la primera fila y luego se mueve repetidamente a una celda adyacente que comparta un lado común. (Se le permite regresar a una celda visitada anteriormente). Si llega a una celda con un monstruo, su intento termina y es transportado de regreso a la primera fila para comenzar un nuevo intento. Los monstruos no se mueven y Turbo recuerda si cada celda que ha visitado contiene o no un monstruo. Si llega a cualquier celda en la última fila, su intento termina y el juego finaliza. Determine el valor mínimo de $n$ para el cual Turbo tiene una estrategia que garantiza llegar a la última fila en el intento $n$ o antes, independientemente de la ubicación de los monstruos. Propuesto por Cheuk Hei Chu, Hong Kong

2 Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$ se cortan en el punto $E$. Dado que $AB = 39, AE = 45, AD = 60$ y $BC = 56$, determine la longitud de $CD.$

4 Encuentre todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \] Propuesto por Gabriel Chicas Reyes, El Salvador

3 Dado un polígono regular de $2013$ lados, ¿cuántos triángulos isósceles existen cuyos vértices sean vértices del polígono dado y tengan un ángulo mayor a $120^o$? Nguyen Tien Lam, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói.

1 Encuentre todas las funciones inyectivas $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tales que para todo número real $x$ y todo entero positivo $n$, $$ \left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016$$ (Macedonia)

4 Sea $x > 1$ un número no entero. Demuestre que \[\biggl( \frac{x+\{x\}}{[x]} - \frac{[x]}{x+\{x\}} \biggr) + \biggl( \frac{x+[x]}{ \{x \} } - \frac{ \{ x \}}{x+[x]} \biggr) > \frac 92 \] Amir

3 Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Suponga que, para cada $n > N$, $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Demuestre que al menos una de las sucesiones $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una sucesión infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$.)

3 Hay tres cajas, una azul, una blanca y una roja, y $8$ bolas. Cada una de las bolas tiene escrito un número del $1$ al $8$, sin repeticiones. Las $8$ bolas se distribuyen en las cajas, de modo que haya al menos dos bolas en cada caja. Luego, en cada caja, se suman todos los números escritos en las bolas que contiene. Los tres resultados se denominan suma azul, suma blanca y suma roja, dependiendo del color de la caja correspondiente. Encuentre todas las distribuciones posibles de las bolas tales que la suma roja sea igual al doble de la suma azul, y la suma roja menos la suma blanca sea igual a la suma blanca menos la suma azul.