4 Sea ${A}_{n}$ el número de permutaciones $a_{1}, a_{2},..,a_{n}$ de $1,2,3..n$ tales que $\mid{a}_{k}-{k}\mid=0$ o $1$ o $2$. Cuando $n\ge6$, demuestre que ${A}_{n}={2A}_{n-1}+2{A}_{n-3}-{A}_{n-5}$.

1 ¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los números reales $x,y$?

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sus diagonales tienen un punto común $M$. Se sabe que los circuncentros de los triángulos $MAB,MBC,MCD,MDE,MEF,MFA$ yacen sobre un círculo. Demuestre que los cuadriláteros $ABDE,BCEF,CDFA$ tienen áreas iguales.

6 Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ se denomina aquaesuliana si se cumple la siguiente propiedad: para todo $x,y \in \mathbb{Q}$, \[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{o} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \] Demuestre que existe un entero $c$ tal que para cualquier función aquaesuliana $f$ hay a lo sumo $c$ números racionales distintos de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún número racional $r$, y encuentre el menor valor posible de $c$.

2 El conjunto de los números reales positivos distintos de cero se particiona en tres subconjuntos no vacíos mutuamente disjuntos $(A\cup B\cup C)$. a) Demuestre que existe un triángulo de longitudes de lado $a,b,c$, tal que $a\in A, b\in B, c\in C$. b) ¿Ocurre siempre que existe un triángulo rectángulo con la propiedad anterior?

Sea $S=\{1,2,3,...,n\}$ y sean ${A}_{1},{A}_{2},...,{A}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $k$ elementos. Sean ${B}_{1},{B}_{2},...,{B}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $l$ elementos. Sea ${k}+{l}\le{n}$. Si para todo ${i}\neq{j}$ se cumple que ${A}_{i}\cap{B}_{i}=\emptyset$ y ${A}_{i}\cap{B}_{j}\neq\emptyset$, demuestre que ${m}\le\binom{k+l}{k}$.

2 Dada la sucesión $(t_n)$ definida como $t_0 = 0$ , $t_1 = 6$ , $t_{n + 2} = 14t_{n + 1} - t_n$ . Demuestre que para todo número $n \ge 1$ , $t_n$ es el área de un triángulo cuyas longitudes de lado son todas números enteros. Dang Hung Thang, Universidad de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanoi.

2 Determine todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$$ se cumple para todo entero $n\geqslant N.$ (Note que $\gcd(x, y)$ denota el máximo común divisor de los enteros $x$ e $y.$) Propuesto por Valentio Iverson, Indonesia

1 Sara escribió en la pizarra un entero con menos de treinta dígitos y que termina en $2$. Celia borra el $2$ del final y lo escribe al principio. El número que queda escrito es igual al doble del número que Sara había escrito. ¿Qué número escribió Sara?

3 En el triángulo $ABC$, se dan el ángulo $\alpha = \angle BAC$ y el lado $a = BC$. Suponga que $a = \sqrt{rR}$, donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio. Calcule todas las longitudes posibles de los lados $AB$ y $AC$.