5 El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AC$ en $D$. Demuestre que el círculo que es tangente a los rayos $[BD)$, $[DC)$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ es igual al excírculo de $ABC$ correspondiente al ángulo $\angle{B}$.

2 Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre los puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestre que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$ Dan Schwarz, Rumania

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio de $AO$. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a la altura $AD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABE$ y $ACF$, respectivamente. Demuestre que $M$ se encuentra sobre $O_1O_2$.

3 Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos pares de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez, eventos del siguiente tipo: tres usuarios $A$, $B$ y $C$ tales que $A$ es amigo tanto de $B$ como de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian sus estados de amistad de tal manera que $B$ y $C$ ahora son amigos, pero $A$ ya no es amigo de $B$ ni de $C$. Todos los demás estados de amistad permanecen sin cambios. Inicialmente, $1010$ usuarios tienen $1009$ amigos cada uno, y $1009$ usuarios tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestre que existe una sucesión de tales eventos después de la cual cada usuario es amigo de, a lo sumo, otro usuario. Propuesto por Adrian Beker, Croacia

5 El caracol Turbo juega en un tablero con $2024$ filas y $2023$ columnas. Hay monstruos ocultos en $2022$ de las celdas. Inicialmente, Turbo no sabe dónde están los monstruos, pero sabe que hay exactamente un monstruo en cada fila, excepto en la primera y en la última, y que cada columna contiene como máximo un monstruo. Turbo realiza una serie de intentos para ir desde la primera fila hasta la última. En cada intento, elige comenzar en cualquier celda de la primera fila y luego se mueve repetidamente a una celda adyacente que comparta un lado común. (Se le permite regresar a una celda visitada anteriormente). Si llega a una celda con un monstruo, su intento termina y es transportado de regreso a la primera fila para comenzar un nuevo intento. Los monstruos no se mueven y Turbo recuerda si cada celda que ha visitado contiene o no un monstruo. Si llega a cualquier celda en la última fila, su intento termina y el juego finaliza. Determine el valor mínimo de $n$ para el cual Turbo tiene una estrategia que garantiza llegar a la última fila en el intento $n$ o antes, independientemente de la ubicación de los monstruos. Propuesto por Cheuk Hei Chu, Hong Kong

4 Encuentre todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \] Propuesto por Gabriel Chicas Reyes, El Salvador

4 Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestre que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(T) = \frac{\pi}{2}.$ Kevin Buzzard, Reino Unido

1 Determine todos los números reales $\alpha$ tales que, para todo entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ sea un múltiplo de $n.$ (Note que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual a $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ ) Propuesto por Santiago Rodríguez, Colombia

1 Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestre que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero. Dan Schwarz, Rumania

2014.1