2014.1

1 Determine todos los números reales $\alpha$ tales que, para todo entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ sea un múltiplo de $n.$ (Note que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual a $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ ) Propuesto por Santiago Rodríguez, Colombia

2 En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ se encuentra en el lado $BC$ y el punto $B_1$ se encuentra en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$, tal que $B_1$ se encuentra estrictamente entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C=\angle BAC$. De manera similar, sea $Q_1$ el punto en la recta $QA_1$, tal que $A_1$ se encuentra estrictamente entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q=\angle CBA$. Demuestre que los puntos $P, Q, P_1$ y $Q_1$ son concíclicos. Propuesto por Anton Trygub, Ucrania

2 Sea un rectángulo de papel $ABCD$; el lado $AB$ mide $5$ cm y el lado $BC$ mide $9$ cm. Realizamos tres dobleces: 1. Llevamos el lado $AB$ sobre el lado $BC$ y llamamos $P$ al punto en el lado $BC$ que coincide con $A$. Se forma entonces un trapecio rectángulo $BCDQ$. 2. Doblamos de modo que $B$ y $Q$ coincidan. Se forma un polígono de $5$ lados $RPCDQ$. 3. Doblamos de nuevo haciendo coincidir $D$ con $C$ y $Q$ con $P$. Un nuevo trapecio rectángulo $RPCS$. Después de realizar estos dobleces, hacemos un corte perpendicular a $SC$ por su punto medio $T$, obteniendo el trapecio rectángulo $RUTS$. Calcule el área de la figura que aparece al desplegar el último trapecio $RUTS$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB<CD$. Las diagonales se intersecan en el punto $F$ y las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $E$. Sean $K$ y $L$ las proyecciones ortogonales de $F$ sobre las rectas $AD$ y $BC$ respectivamente, y sean $M$, $S$ y $T$ los puntos medios de $EF$, $CF$ y $DF$ respectivamente. Demuestre que el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $MKT$ y $MLS$ yace sobre el segmento $CD$. (Grecia - Silouanos Brazitikos)

3b Encuentre todas las funciones reales $f$ definidas sobre los números reales excepto el cero, que satisfacen $f(2019) = 1$ y $f(x)f(y)+ f\left(\frac{2019}{x}\right) f\left(\frac{2019}{y}\right) =2f(xy)$ para todo $x,y \ne 0$

44 Sean $A$ y $B$ las posiciones de dos barcos $M$ y $N$, respectivamente, en el momento en que $N$ vio a $M$ moviéndose con velocidad constante $v$ siguiendo la línea $Ax$. En busca de ayuda, $N$ se mueve con velocidad $kv$ ($k < 1$) a lo largo de la línea $By$ con el fin de encontrarse con $M$ lo antes posible. Denotemos por $C$ el punto de encuentro de los dos barcos, y establezcamos \[AB = d, \angle BAC = \alpha, 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}.\] Determine el ángulo $\angle ABC = \beta$ y el tiempo $t$ que $N$ necesita para encontrarse con $M$. Amir

5 Sean $x, y$ números reales que satisfacen $x + y = 1197, \, x \geq 144, \, y \geq 105.$ El valor mínimo de $$\frac{2x^2}{\sqrt{x} - 12} + \frac{27y^2}{3\sqrt{13y} - 104}$$ es _______. ys-lg

11 Sean \( z_1, z_2\in\mathbb C \) tales que \( |z_1 + 2z_2| \le 1 \) y \( |z_1^2+z_1z_2 + z_2^2| \le 1 \). Determine el valor máximo de \( \max\{|z_1|, |z_2|\} \). Propuesto por Yiyan Lin

6 Sean $p, q, n$ tres enteros positivos tales que $p + q < n$. Sea $(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_{0} = x_{n} = 0$, y (b) Para cada $i$ con $1 \leq i \leq n$, se tiene que $x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $x_{i} - x_{i - 1} = -q$. Demuestre que existen índices $i < j$ con $(i, j) \neq (0, n)$, tales que $x_{i} = x_{j}$.