10 Sea \( t \) un número real positivo. En el plano de coordenadas cartesianas, la elipse \(\Gamma : \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\) y la hipérbola \(\Omega : xy = t\) se intersecan en los puntos \(A\) y \(B\) en el primer cuadrante, con \(A\) por encima de \(B\). Sea la mediatriz del segmento \(AB\) la que interseca al eje \(x\) en el punto \(C\), y sea \(D\) el vértice derecho de la elipse \(\Gamma\). Si \(\angle ACB = 2\angle BCD\), encuentre el valor de \(t\). Propuesto por Yiyan Lin

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Una recta que pasa por $D$ corta al lado $AB$ en $X$ y a la semirrecta $AC$ en $Y$. El circuncírculo del triángulo $BXD$ corta al circuncírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $Z$ distinto del punto $B$. Las rectas $ZD$ y $ZY$ cortan a $\omega$ nuevamente en $V$ y $W$ respectivamente. Demuestre que $AB = V W$. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia.

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ una sucesión de enteros con valores entre 2 y 1995 tales que: (i) Cualesquiera dos de los $a_i$ son primos entre sí, (ii) Cada $a_i$ es un número primo o un producto de números primos. Determine el menor valor posible de $n$ para asegurar que la sucesión contenga un número primo.

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que $$\frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}} +\frac{b}{\sqrt{(2b+c)(2b+a)}} +\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}} \le 1 $$

2 En el triángulo $ ABC$ tenemos $ \angle{ACB} = 2\angle{ABC}$ y existe el punto $ D$ dentro del triángulo tal que $ AD = AC$ y $ DB = DC$ . Demuestre que $ \angle{BAC} = 3\angle{BAD}$ .

4 Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

2 Sea $ MN$ una recta paralela al lado $ BC$ de un triángulo $ ABC$ , con $ M$ en el lado $ AB$ y $ N$ en el lado $ AC$ . Las rectas $ BN$ y $ CM$ se cortan en el punto $ P$ . Los circuncírculos de los triángulos $ BMP$ y $ CNP$ se cortan en dos puntos distintos $ P$ y $ Q$ . Demuestre que $ \angle BAQ = \angle CAP$ . Liubomir Chiriac, Moldova

34 Sea $M$ el conjunto de todas las funciones $f$ con las siguientes propiedades: (i) $f$ está definida para todos los números reales y toma solo valores reales. (ii) Para todo $x, y \in \mathbb R$ se cumple la siguiente igualdad: $f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y).$ (iii) $f(0) \neq 0.$ Determine todas las funciones $f \in M$ tales que (a) $f(1)=\frac 52$ , (b) $f(1)= \sqrt 3$ . Amir

8 En un juego de "Pasar el pañuelo", $2024$ estudiantes se encuentran en los vértices distintos de un $2024$-gono regular. Sean \( A \) y \( B \) un par de puntos diametralmente opuestos en el $2024$-gono regular (es decir, \( A \) y \( B \) están separados por $1011$ vértices en cualquier dirección). Inicialmente, el pañuelo está en el punto \( A \). Cada segundo, el pañuelo se pasa con igual probabilidad a una de las dos posiciones adyacentes. El número esperado de segundos que tarda el pañuelo en llegar a \( B \) por primera vez es ______. ys-lg