39 Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector nulo. Demuestre que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para todo punto $X$. Amir

6 Sea \( n \geq 3 \) un entero. Para polígonos convexos \( P_1, P_2, \cdots, P_n \) en el plano, donde \( P_i \) tiene \( a_i \) vértices ( \( 1 \leq i \leq n \) ), defina \[S = \{ G \mid G \text{ es el centroide de } A_1, A_2, \cdots, A_n \text{, donde } A_i \text{ es un vértice de } P_i \}.\] Demuestre que existe una constante real positiva \( C_n \) tal que para cualesquiera \( P_1, P_2, \cdots, P_n \), \[|S| \geq C_n (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{3}{n} - \frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}}.\] Creado por Yuxing Ye

3 Dado un entero positivo $m$, encuentre el número real máximo $C$ tal que para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $a_1, a_2, \dots, a_n$ de $1, 2, \dots, n$, existe un entero positivo $1 \leq k \leq m$ tal que $$\sum_{i=1}^{n} a_i a_{i+k} \geq Cn^3,$$ donde los índices se toman módulo $n$. Propuesto por Zhenyu Dong

1 Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que, en una cuadrícula infinita, la unión de cualesquiera $100$ cuadrados de $2 \times 2$ siempre pueda ser cubierta por $n$ cuadrados de $2 \times 2$ disjuntos dos a dos. Propuesto por Xingtong Guo

2 Dado un entero positivo $n \geq 2$, encuentre el máximo número real positivo $C$ con la siguiente propiedad: Para cualesquiera $n$ números irracionales positivos $a_1 < a_2 < \dots < a_n$, si $a_n - a_1 \leq C$, entonces solo una cantidad finita de enteros no pueden expresarse de la forma $$\lfloor x_1 a_1 \rfloor + \lfloor x_2 a_2 \rfloor + \dots + \lfloor x_n a_n \rfloor, \quad x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$. Propuesto por Tianqin Li y Cheng Jiang

1 Encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $xy+yz+zx-xyz=2015$

3 Un triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle C=90^o$ está inscrito en un círculo. Suponga que $K$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Sea $N$ el punto medio del segmento $AC$, y $M$ el punto de intersección del rayo $KN$ y el círculo. Las tangentes al círculo trazadas en $A$ y $C$ se cortan en $E$. Demuestre que $\angle EMK = 90^o$.

37 Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de tal manera que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B, M$ y $N$ son colineales.

38 Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ de la siguiente manera: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (la suma vacía se define como igual a cero). Demuestre que $n \mid u_{n,k}$ para todo número natural $n$ y para todo $k \ (1 \leq k \leq n).$ Amir

2 Sea $ P$ un punto en el interior de un triángulo $ ABC$ tal que \[ \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC. \] Sean $ D$ y $ E$ los incentros de los triángulos $ APB$ y $ APC$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ AP$ , $ BD$ y $ CE$ concurren en un punto.