2 Sea $ P$ un punto en el interior de un triángulo $ ABC$ tal que \[ \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC. \] Sean $ D$ y $ E$ los incentros de los triángulos $ APB$ y $ APC$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ AP$ , $ BD$ y $ CE$ concurren en un punto.

3 Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ en sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todo} \; m, n \in \mathbb{N}_0. \]

5 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A}, R_{C}, R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB, BCD, DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E} \geq \frac{P}{2}. \]

3 Un rectángulo de $9 \times 12$ está dividido en cuadrados unitarios. Los centros de todos los cuadrados unitarios, excepto los cuatro cuadrados de las esquinas y los ocho cuadrados que comparten un lado con uno de ellos, están coloreados de rojo. ¿Es posible etiquetar estos centros rojos $C_1, C_2, \ldots, C_{96}$ de tal manera que se cumplan las dos condiciones siguientes: i) las distancias $C_1C_2, \ldots, C_{95}C_{96}, C_{96}C_1$ sean todas iguales a $\sqrt{13}$, ii) la línea quebrada cerrada $C_1C_2\ldots C_{96}C_1$ tenga un centro de simetría? Bulgaria

3 Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Considere el conjunto de círculos que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de círculos que pasan por $R$ y $S$. Determine el conjunto $A$ de puntos de tangencia de los círculos en estos dos conjuntos.

5 Encuentre el entero positivo mínimo $k$ tal que existe una función $f$ del conjunto $\Bbb{Z}$ de todos los enteros a $\{1, 2, \ldots, k\}$ con la propiedad de que $f(x) \neq f(y)$ siempre que $|x-y| \in \{5, 7, 12\}$.

4 Sea $C$ un círculo de radio $R$ y centro $O$, y $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA'$ y $BB'$ cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Considere los rectángulos $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$ y $SB'NA$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$, $N'$, $M'$ y $N$ cuando $A$ se mueve a lo largo de todo el círculo.

1 Determine todas las sucesiones de números reales $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{1995}$ que satisfacen: \[ 2\sqrt{a_n - (n - 1)} \geq a_{n+1} - (n - 1), \ \text{para} \ n = 1, 2, \ldots 1994, \] y \[ 2\sqrt{a_{1995} - 1994} \geq a_1 + 1. \]

1. La transformación $ n \to 2n - 1$ o $ n \to 3n - 1$, donde $ n$ es un entero positivo, se denomina 'cambio' de $ n$. Los números $ a$ y $ b$ se denominan 'similares' si existe un entero positivo que pueda obtenerse mediante un número finito de 'cambios' tanto de $ a$ como de $ b$. Encuentre todos los enteros positivos 'similares' a $ 2005$ y menores que $ 2005$.

6 Sea \( n \geq 3 \) un entero. Para polígonos convexos \( P_1, P_2, \cdots, P_n \) en el plano, donde \( P_i \) tiene \( a_i \) vértices ( \( 1 \leq i \leq n \) ), defina \[S = \{ G \mid G \text{ es el centroide de } A_1, A_2, \cdots, A_n \text{, donde } A_i \text{ es un vértice de } P_i \}.\] Demuestre que existe una constante real positiva \( C_n \) tal que para cualesquiera \( P_1, P_2, \cdots, P_n \), \[|S| \geq C_n (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{3}{n} - \frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}}.\] Creado por Yuxing Ye