53 Considere sucesiones infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Demuestre que para toda sucesión de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentre una sucesión de este tipo tal que para todo $n$: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

5 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A}, R_{C}, R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB, BCD, DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E} \geq \frac{P}{2}. \]

54 Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son semejantes y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$, y además tenemos $\angle CAB = \angle C_1AB_1$. Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$. Demuestre que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares. Amir

3 Un rectángulo de $9 \times 12$ está dividido en cuadrados unitarios. Los centros de todos los cuadrados unitarios, excepto los cuatro cuadrados de las esquinas y los ocho cuadrados que comparten un lado con uno de ellos, están coloreados de rojo. ¿Es posible etiquetar estos centros rojos $C_1, C_2, \ldots, C_{96}$ de tal manera que se cumplan las dos condiciones siguientes: i) las distancias $C_1C_2, \ldots, C_{95}C_{96}, C_{96}C_1$ sean todas iguales a $\sqrt{13}$, ii) la línea quebrada cerrada $C_1C_2\ldots C_{96}C_1$ tenga un centro de simetría? Bulgaria

1 Encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que $xy+yz+zx-xyz=2015$

29 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función continua. Suponga que la restricción de $f$ al conjunto de los números irracionales es inyectiva. ¿Qué podemos decir acerca de $f$? Responda la pregunta análoga si $f$ se restringe a los números racionales. Amir

36 Sea $A_{1}A_{2}A_{3}$ un triángulo no isósceles con lados $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, donde el lado $a_{i}$ es opuesto al vértice $A_{i}$. Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$, y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca al lado $a_{i}$. Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ respecto a la bisectriz del ángulo interior $A_{i}$. Demuestre que las rectas $M_{1}S_{1}$, $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

42 Sea $\mathfrak F$ la familia de todos los subconjuntos de $k$ elementos del conjunto $\{1, 2, \ldots, 2k + 1\}$. Demuestre que existe una función biyectiva $f :\mathfrak F \to \mathfrak F$ tal que para todo $A \in \mathfrak F$, los conjuntos $A$ y $f(A)$ son disjuntos. Amir

32 La función $f(n)$ está definida sobre los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0, f(3)>0, f(9999)=3333$ y para todo $m, n$: \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$.

37 Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de tal manera que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B, M$ y $N$ son colineales.