38 Se definen los números $u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)$ de la siguiente manera: \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (la suma vacía se define como igual a cero). Demuestre que $n \mid u_{n,k}$ para todo número natural $n$ y para todo $k \ (1 \leq k \leq n).$ Amir

49 Simplifique \[\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2}.\] Amir

52 Se nos dan $2n$ números naturales \[1, 1, 2, 2, 3, 3, \ldots, n - 1, n - 1, n, n.\] Encuentre todos los $n$ para los cuales estos números pueden ser dispuestos en una fila de tal manera que, para cada $k \leq n$, haya exactamente $k$ números entre los dos números $k$. Amir

28 Sea $(u_1, \ldots, u_n)$ una $n$-tupla ordenada. Para cada $k, 1 \leq k \leq n$, defina $v_k=\sqrt[k]{u_1u_2 \cdots u_k}$. Demuestre que \[\sum_{k=1}^n v_k \leq e \cdot \sum_{k=1}^n u_k.\] ($e$ es la base del logaritmo natural). Amir

1. La transformación $ n \to 2n - 1$ o $ n \to 3n - 1$, donde $ n$ es un entero positivo, se denomina 'cambio' de $ n$. Los números $ a$ y $ b$ se denominan 'similares' si existe un entero positivo que pueda obtenerse mediante un número finito de 'cambios' tanto de $ a$ como de $ b$. Encuentre todos los enteros positivos 'similares' a $ 2005$ y menores que $ 2005$.

1 Determine todas las sucesiones de números reales $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_{1995}$ que satisfacen: \[ 2\sqrt{a_n - (n - 1)} \geq a_{n+1} - (n - 1), \ \text{para} \ n = 1, 2, \ldots 1994, \] y \[ 2\sqrt{a_{1995} - 1994} \geq a_1 + 1. \]

3 Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ en sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todo} \; m, n \in \mathbb{N}_0. \]

4 Sea $C$ un círculo de radio $R$ y centro $O$, y $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA'$ y $BB'$ cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Considere los rectángulos $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$ y $SB'NA$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$, $N'$, $M'$ y $N$ cuando $A$ se mueve a lo largo de todo el círculo.

3 Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Considere el conjunto de círculos que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de círculos que pasan por $R$ y $S$. Determine el conjunto $A$ de puntos de tangencia de los círculos en estos dos conjuntos.

51 Sean $n$ números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elegidos de tal manera que $1 \geq x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq 0$. Demuestre que \[(1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^\alpha \leq 1 + x_1^\alpha+ 2^{\alpha-1}x_2^\alpha+ \cdots+ n^{\alpha-1}x_n^\alpha\] si $0 \leq \alpha \leq 1$. Amir