44 Sean $A$ y $B$ las posiciones de dos barcos $M$ y $N$, respectivamente, en el momento en que $N$ vio a $M$ moviéndose con velocidad constante $v$ siguiendo la línea $Ax$. En busca de ayuda, $N$ se mueve con velocidad $kv$ ($k < 1$) a lo largo de la línea $By$ con el fin de encontrarse con $M$ lo antes posible. Denotemos por $C$ el punto de encuentro de los dos barcos, y establezcamos \[AB = d, \angle BAC = \alpha, 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}.\] Determine el ángulo $\angle ABC = \beta$ y el tiempo $t$ que $N$ necesita para encontrarse con $M$. Amir

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Una recta que pasa por $D$ corta al lado $AB$ en $X$ y a la semirrecta $AC$ en $Y$. El circuncírculo del triángulo $BXD$ corta al circuncírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $Z$ distinto del punto $B$. Las rectas $ZD$ y $ZY$ cortan a $\omega$ nuevamente en $V$ y $W$ respectivamente. Demuestre que $AB = V W$. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia.

10 Sea \( t \) un número real positivo. En el plano de coordenadas cartesianas, la elipse \(\Gamma : \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\) y la hipérbola \(\Omega : xy = t\) se intersecan en los puntos \(A\) y \(B\) en el primer cuadrante, con \(A\) por encima de \(B\). Sea la mediatriz del segmento \(AB\) la que interseca al eje \(x\) en el punto \(C\), y sea \(D\) el vértice derecho de la elipse \(\Gamma\). Si \(\angle ACB = 2\angle BCD\), encuentre el valor de \(t\). Propuesto por Yiyan Lin

6 Sea \( n \geq 3 \) un entero. Para polígonos convexos \( P_1, P_2, \cdots, P_n \) en el plano, donde \( P_i \) tiene \( a_i \) vértices ( \( 1 \leq i \leq n \) ), defina \[S = \{ G \mid G \text{ es el centroide de } A_1, A_2, \cdots, A_n \text{, donde } A_i \text{ es un vértice de } P_i \}.\] Demuestre que existe una constante real positiva \( C_n \) tal que para cualesquiera \( P_1, P_2, \cdots, P_n \), \[|S| \geq C_n (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{3}{n} - \frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}}.\] Creado por Yuxing Ye

1 Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que, en una cuadrícula infinita, la unión de cualesquiera $100$ cuadrados de $2 \times 2$ siempre pueda ser cubierta por $n$ cuadrados de $2 \times 2$ disjuntos dos a dos. Propuesto por Xingtong Guo

39 Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector nulo. Demuestre que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para todo punto $X$. Amir

3 Dado un entero positivo $m$, encuentre el número real máximo $C$ tal que para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $a_1, a_2, \dots, a_n$ de $1, 2, \dots, n$, existe un entero positivo $1 \leq k \leq m$ tal que $$\sum_{i=1}^{n} a_i a_{i+k} \geq Cn^3,$$ donde los índices se toman módulo $n$. Propuesto por Zhenyu Dong

5 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A}, R_{C}, R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB, BCD, DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E} \geq \frac{P}{2}. \]

36 Sea $A_{1}A_{2}A_{3}$ un triángulo no isósceles con lados $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, donde el lado $a_{i}$ es opuesto al vértice $A_{i}$. Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$, y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca al lado $a_{i}$. Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ respecto a la bisectriz del ángulo interior $A_{i}$. Demuestre que las rectas $M_{1}S_{1}$, $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ una sucesión de enteros con valores entre 2 y 1995 tales que: (i) Cualesquiera dos de los $a_i$ son primos entre sí, (ii) Cada $a_i$ es un número primo o un producto de números primos. Determine el menor valor posible de $n$ para asegurar que la sucesión contenga un número primo.