3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

2 Sea $S = \{2, 3, 4, \ldots\}$ el conjunto de los enteros mayores o iguales a $2$. ¿Existe una función $f : S \to S$ tal que \[f (a)f (b) = f (a^2 b^2 )\text{ para todo }a, b \in S\text{ con }a \ne b?\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Hay $n$ celdas en un círculo, y a cada celda se le asigna $0$ o $1$. Hay un gallo en una de estas celdas, y repite la siguiente operación: $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $0$, cambia el número asignado a $1$ y se mueve a la siguiente celda en sentido antihorario. $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $1$, cambia el número asignado a $0$ y se mueve a la celda siguiente a la inmediata en sentido antihorario. Demuestre que la siguiente afirmación se cumple después de un número suficientemente grande de operaciones: Si el gallo está en una celda $C$, entonces el gallo dará la vuelta al círculo exactamente tres veces, deteniéndose de nuevo en $C$. Además, cada celda tendría asignado el mismo número que tenía asignado justo antes de que el gallo diera la vuelta al círculo tres veces. Aiden-1089

7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?

4 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

2 Demuestre que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

1 La sucesión $(a_{n})_{n\geq 1}$ está definida por $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ y $a_{n + 2} = (n + 3)a_{n + 1} - (n + 2)a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}$. Encuentre todos los valores de $n$ para los cuales $a_{n}$ es divisible por $11$.

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ números reales positivos, y sea $S_k$ la suma de los productos de $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ tomados de $k$ en $k$. Demuestre que \[ S_k S_{n-k} \geq {n \choose k}^2 a_1 a_2 \cdots a_n \] para $k = 1$ , $2$ , $\cdots$ , $n - 1$ .

3 Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos en una recta $\ell$, tales que $AB = BC = CD$. En uno de los semiplanos determinados por la recta $\ell$, se eligen los puntos $P$ y $Q$ de tal manera que el triángulo $CPQ$ es equilátero con sus vértices nombrados en sentido horario. Sean $M$ y $N$ dos puntos en el plano tales que los triángulos $MAP$ y $NQD$ son equiláteros (los vértices también están nombrados en sentido horario). Encuentre la medida del ángulo $\angle MBN$.

2 Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales los números en el conjunto $S = \{1, 2, \ldots, n\}$ pueden ser coloreados de rojo y azul, de tal manera que se satisfaga la siguiente condición: El conjunto $S \times S \times S$ contiene exactamente $2007$ ternas ordenadas $(x, y, z)$ tales que: (i) los números $x$, $y$, $z$ son del mismo color, y (ii) el número $x + y + z$ es divisible por $n$. Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos