15 Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ($S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas. Amir

23 Determine la suma de todos los enteros positivos cuyos dígitos (en base diez) forman una sucesión estrictamente creciente o una sucesión estrictamente decreciente. Amir

21 Todos los lados y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un lado rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$. Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\] Amir

2 Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales los números en el conjunto $S = \{1, 2, \ldots, n\}$ pueden ser coloreados de rojo y azul, de tal manera que se satisfaga la siguiente condición: El conjunto $S \times S \times S$ contiene exactamente $2007$ ternas ordenadas $(x, y, z)$ tales que: (i) los números $x$, $y$, $z$ son del mismo color, y (ii) el número $x + y + z$ es divisible por $n$. Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

1 Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ en tarjetas diferentes. Luego, baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

3 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

4 Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$, y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $A I C$. La prolongación de $B A$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$, y la prolongación de $B C$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Demuestre que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\] Propuesto por Dominik Burek, Polonia y Tomasz Ciesla, Polonia

3 Un tablero de ajedrez blanco infinito contiene un tablero de $m \times n$ recubierto con fichas negras de tamaños $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, 1 \times 4$ y $1 \times 5$ sin superposición (cada ficha puede haber aparecido horizontal o verticalmente). ¿Es siempre posible colorear exactamente un cuadrado de cada ficha de blanco, de tal manera que un rey de ajedrez colocado en cualquier cuadrado blanco pueda salir del tablero moviéndose solo a otros cuadrados blancos?

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ números reales positivos, y sea $S_k$ la suma de los productos de $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ tomados de $k$ en $k$. Demuestre que \[ S_k S_{n-k} \geq {n \choose k}^2 a_1 a_2 \cdots a_n \] para $k = 1$ , $2$ , $\cdots$ , $n - 1$ .

1 Dado el triángulo $ABC$, sean $D$, $E$, $F$ los puntos medios de $BC$, $AC$, $AB$ respectivamente y sea $G$ el baricentro del triángulo. Para cada valor de $\angle BAC$, ¿cuántos triángulos no semejantes existen en los cuales $AEGF$ es un cuadrilátero cíclico?